1-2-2 全称量词命题与存在量词命题的否定-2020-2021学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）word版

1．2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 课程 标准 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定； 2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。 知识点一、命题的否定[来源:Zxxk.Com] 1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”。 2．如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然。 知识点二、全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 续表 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 (1)写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定。 (2)全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反。 一、判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个命题是假命题，那么这个命题的否定可能是真命题也可能是假命题。(×) (2)全称量词命题的否定只是对命题结论的否定。(×) (3)∃x∈M，使x具有性质p(x)与∀x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反。(√) (4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”。(×) 二、做一做 1．“至多有一个”的否定为______________。 答案　至少有两个 2．已知命题p：∀x∈R，x0＝1，则它的否定是______________________。 答案　∃x∈R，x0≠1 3．命题“∃x∈Q，x2＝5”的否定是________命题(填“真”或“假”)。 答案　真 类型一 全称量词命题的否定 【例1】　写出下列全称量词命题的否定，并判断真假。 (1)p：所有能被3整除的整数都是奇数； (2)p：每一个四边形的四个顶点共圆； (3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字都不等于1。 解　(1)綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数。是真命题。 (2)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆。是真命题。 (3)綈p：存在x∈Z，x2的个位数字等于1。是真命题。 (1)全称量词命题的否定：将全称量词变为存在量词，再否定它的结论，全称量词命题的否定是存在量词命题。 (2)对省略全称量词的全称量词命题要补回全称量词再否定。解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定形式。 【变式训练】　写出下列命题的否定。 (1)三个给定产品都是次品； (2)数列1,2,3,4,5中的每一项都是偶数； (3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)所有可以被5整除的整数，其末位数字是0。 解　(1)三个给定产品中至少有一个不是次品。 (2)数列1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数。 (3)存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一。 (4)存在被5整除的整数，其末位数字不是0。 类型二 存在量词命题的否定 【例2】　写出下列命题的否定，并判断其真假。 (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，|x＋1|≤1。 解　(1)题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”。这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除。 (2)题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”。这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°。 (3)题中命题的否定为“∀x∈R，>1”。这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|>1。 对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词。 (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等。 【变式训练】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假。 (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，x2＋x＋<0； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0。 解　(1)题中命题的否定为“所有的素数都不是偶数”。这个命题是假命题，如2是素数也是偶数。 (2)题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋≥0”。这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋＝2≥0。 (3)题中命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”。这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0。 正难则反——用命题的否定求参数范围 【典例】　已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围。 【思路点拨】　命题p的否定綈p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转