1-2-3-2 充要条件-2020-2021学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）word版

第2课时　充要条件 课程 标准 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。 知识点、充要条件 1．一般地，如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件。 2．一般地，如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件。 3．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔p。 微思考　p是q的充要条件与q是p的充要条件的意义相同吗？ 提示：不相同，“若p，则q”与“若q，则p”不是相同的命题，它们的条件与结论是不一样的。 一、判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立。(√) (2)符号“⇔”具有传递性。(√) (3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件。(√) (4)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件。(√) 二、做一做 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充要不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1。故选A。 答案　A 2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件。 解析　设p：(2x－1)x＝0，q：x＝0，则p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件。 答案　必要不充分 3．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件。 解析　当x>1时，x3>1；当x3>1时，x>1。 答案　充要 类型一 充要条件的判断 【例1】　判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ (1)设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：二次函数的图像开口向上，q：a>0； (2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (3)p：|x|>3，q：x2>9。 解　(1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其图像开口向上⇔a>0，所以p是q的充要条件。 (2)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件。 (3)由于p：|x|>3⇔q：x2>9， 所以p是q的充要条件。 判断p是q的充分必要条件的两种思路 (1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立。若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件。 (2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的。 【变式训练】　下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)? (1)p：x≠0，q：x＋|x|>0； (2)p：a>0，q：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解； (3)p：ab>0，a，b∈R，q：|a＋b|＝|a|＋|b|； (4)p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像经过原点。 解　(1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如x＝－1≠0，但是x＋|x|＝0，所以pq，由x＋|x|>0可得x>0，可推出x≠0，所以q⇒p，所以p是q的必要不充分条件。 (2)当a>0时，关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解x＝－，所以p⇒q，若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，推不出a>0，所以qp，所以p是q的充分不必要条件。 (3)当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立，所以p⇒q，因为a＝0时，也有|a＋b|＝|a|＋|b|，所以qp，所以p是q的充分不必要条件。 (4)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图像经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p⇔q，所以p是q的充要条件。 类型二 充要条件的证明 【例2】　已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(※)，判断a＋b＋c＝0是否是方程(※)有一个根为1的充要条件。 证明　因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b， 代入方程ax2＋bx＋c＝0中， 得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0。 所以方程(※)有一个根为1， 所以a＋b＋c＝0⇒方程(※)有一个根为1， 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0。 所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0。 所以方程(※)有一个根为1⇒a＋b＋c＝0， 从而a＋b＋c＝0⇔