2-1-1 等式的性质与方程的解集-2020-2021学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）word版

第二章　　等式与不等式 2．1　等式 2．1.1　等式的性质与方程的解集 课程 标准 1.掌握等式的性质，会进行等式的恒等变换；2.了解十字相乘法，会用十字相乘法分解因式；3.理解方程的解集，会求简单方程的解集。 知识点一、常用乘法公式 1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。 2．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍。 3．其他恒等式： (1)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3； (2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (3)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac。 知识点二、十字相乘法 1．二次项系数为1时：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)。 2．二次系数不为1时：acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)。 3．记忆口诀：拆两头，凑中间。 微思考　十字相乘法分解因式的关键是什么？ 提示：把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因式相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数。 知识点三、方程的解集 1．方程的解(根)：能使方程左右两边相等的未知数的值。 2．方程的解集：一个方程所有的解组成的集合。 微思考　把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？ 提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根。 一、判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25。(×) (2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4)。(×) (3)用因式分解法解方程时部分过程为：(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2。(×) 二、做一做 1．方程x(x－1)＝x的根是(　　) A．x＝2 B．x＝－2 C．x1＝－2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0 解析　因为x(x－1)＝x，所以x2－x＝x，所以x2－2x＝0，所以x(x－2)＝0，所以x1＝2，x2＝0。故选D。 答案　D 2．(多选)下列等式中，是恒等式的是(　　) A．(x－2)(x＋2)＝x2－4 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(－3＋m)·(3＋m)＝m2－9 D．16x2－9＝24x 解析　A中，(x－2)(x＋2)＝x2－4，使用平方差公式化简，是恒等式；B中，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，使用完全平方公式化简，是恒等式；C中，(－3＋m)(3＋m)＝(m－3)(m＋3)＝m2－9，平方差公式化简，是恒等式；D中，16x2－9＝24x是方程，不是恒等式。 答案　ABC 3．2x2－7x＋3＝0的解集为________。 解析　2x2－7x＋3＝(2x－1)(x－3)＝0，x＝或x＝3，所以方程的解集为。 答案　 类型一 代数式的化简 【例1】　(1)化简(x＋1)2－(1－2x)2。 解　解法一：(x＋1)2－(1－2x)2＝x2＋2x＋1－(1－4x＋4x2)＝x2＋2x＋1－1＋4x－4x2＝－3x2＋6x。 解法二：(x＋1)2－(1－2x)2＝[(x＋1)＋(1－2x)][(x＋1)－(1－2x)]＝(2－x)3x＝－3x2＋6x。 (2)化简(3x＋1)2－(x＋1)2。 解　解法一：(3x＋1)2－(x＋1)2＝9x2＋6x＋1－(x2＋2x＋1)＝9x2＋6x＋1－x2－2x－1＝8x2＋4x。 解法二：(3x＋1)2－(x＋1)2＝[(3x＋1)＋(x＋1)][(3x＋1)－(x＋1)]＝(4x＋2)·2x＝8x2＋4x。 (1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式。 (2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算。 【变式训练】　(1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是(　　)[来源:Zxxk.Com] A．－2m2 B．0 C．－2 D．－1 解析　(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2。故选C。 答案　C (2)计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是(　　) A．8x2－8y2 B．8y2－8x2 C．8(x＋y)2 D．8(x－y)2 解析　解法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2。 解法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)