2-2-1 不等式及其性质-2020-2021学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）word版

2．2　不等式 2．2.1　不等式及其性质 课程 标准 1.理解不等式的概念； 2．掌握不等式的性质。 知识点一、不等关系与不等式 1．在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具。我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。 2．在上述不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”。事实上，任意给定两个实数a，b，那么 a≥b⇔a>b或a＝b， a≤b⇔a<b或a＝b。[来源:学*科*网] 3．比较两个实数(代数式)大小 (1)a－b<0⇔a<b， (2)a－b＝0⇔a＝b， (3)a－b>0⇔a>b。 知识点二、不等式的性质 性质1　如果a>b，那么a＋c>b＋c。 性质2　如果a>b，c>0，那么ac>bc。 性质3　如果a>b，c<0，那么ac<bc。 性质4　如果a>b，b>c，那么a>c。 性质5　a>b⇔b<a。 推论1　如果a＋b>c，那么a>c－b。 推论2　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d。 推论3　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。 推论4　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)。 推论5　如果a>b>0，那么>。 (1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件。不可强化或弱化成立的条件。 (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 知识点三、不等式的证明方法 1．通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法称为作差法。 2．从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法称为综合法。 3．首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立。这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法。 4．“要证p，只需证明q”，可以表示为p⇐q，这种方法称为分析法，分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件。 一、判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2。(√) (2)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确。(√) (3)若a>b，则ac>bc一定成立。(×) (4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d。(×) 二、做一做 1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 解析　因为a＋b>0，所以a>－b，；因为b<0，所以－b>b。所以a>－b>b>－a。故选C。 答案　C 2．某一路段限速40 km/h，它是指司机在该路段行驶时，应使汽车的速度v(单位：km/h)不超过40 km/h，写成不等式就是________。 答案　v≤40 3．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________。 解析　m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋m－1＝(m2＋1)(m－1)>0，所以m3>m2－m＋1。 答案　m3>m2－m＋1 类型一 作差法比较大小 【例1】　比较下列各组中的两个实数或代数式的大小： (1)2x2＋3与x＋2，x∈R； (2)a＋2与，a∈R，且a≠1。 解　(1)因为(2x2＋3)－(x＋2)＝2x2－x＋1＝22＋≥>0， 所以2x2＋3>x＋2。 (2)(a＋2)－＝ ＝＝。 由于a2＋a＋1＝2＋≥>0， 所以当a>1时，>0，即a＋2>； 当a<1时，<0，即a＋2<。 故当时，a＋2>； 当a<1时，a＋2<。 作差法是比较两个实数大小的基本方法，一般步骤是：(1)作差；(2)变形，变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论，写出两个实数的大小关系。 【变式训练】　若m≠n，x＝m4－m3n，y＝mn3－n4，则x与y的大小关系是(　　) A．x>y B．x＝y C．x<y D．与m，n的取值有关 解析　x－y＝(m4－m3n)－(mn3－n4)＝m3(m－n)－n3(m－n)＝(m－n)(m3－n3)＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)＝(m－n)2，因为m≠n，所以x－y>0，x>y。故选A。 答案　A 类型二 不等式的性质判断真假 【例2】　对于实数a，b，c，判断下列结论是否正确： (1)若a>b，则ac2>bc2； (2)若a<b<0，则a2>ab>b2； (3)若c>a>b>0，则>； (4)若a>b，>，则a>0，b<0； (5)若a<b<0，则>。 解　(1)当c＝0时，有ac2＝bc2。故该结论错误。 (2)由可得a2>ab。因为所以ab>b2，从而有a2>ab>b2。故该结论正确。 (3)由a>b>0，可得－a<－b