第二章 等式与不等式 总结-2020-2021学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）word版

本章总结 知|识|结|构 核|心|回|归 1．不等式的性质[来源:Z|xx|k.Com] (1)a>b⇔b<a； (2)a>b，b>c⇒a>c； (3)a>b⇔a＋c>b＋c； (4)a>b，c>0⇒ac>bc； (5)a>b，c<0⇒ac<bc； (6)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (7)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd。 2．均值不等式及有关结论 (1)均值不等式：如果a>0，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数。 (2)重要不等式：若a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立。[来源:学科网ZXXK] (3)几个常用的重要结论： ①＋≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)。 ②a＋≥2(a>0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋≤－2(a<0，当且仅当a＝－1时取等号)。 ③ab≤2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)。 ④≤≤≤ (a，b>0，当且仅当a＝b时取等号)。 3．一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)(其中a>0)的解法： (1)因式分解法：如果ax2＋bx＋c可因式分解为a(x－x1)(x－x2)(x1<x2)，则ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<x1或x>x2}，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}。 (2)配方法：如果ax2＋bx＋c>0配方后得ax2＋bx＋c＝a(x－x0)2>k， ①k≥0时，不等式的解集为； ②k<0时，不等式的解集为R。 ax2＋bx＋c<0(a>0)类似上述情况进行变形。 要|点|突|破 要点一 不等关系与不等式 不等关系与不等式是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用。 【例1】　(1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　) A．ab>ac B．c(b－a)>0 C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0 【解析】　因为c<a，且ac<0，所以c<0，a>0。A成立，因为c<b，所以ac<ab，即ab>ac。B成立，因为b<a，b－a<0，所以c(b－a)>0。C不一定成立，当b＝0时，cb2<ab2不成立。D成立，因为c<a，所以a－c>0，所以ac(a－c)<0。 【答案】　C (2)已知2<a<3，－2<b<－1，求ab，的取值范围。 【解】　因为－2<b<－1，所以1<－b<2。 又因为2<a<3，所以2<－ab<6， 所以－6<ab<－2。 因为－2<b<－1，所以1<b2<4。 因为2<a<3，所以<<， 所以<<2。 利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧 (1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件。 (2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构。然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件。 【变式训练1】　已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小。 解　－(a＋b)＝－b＋－a ＝＋＝(a2－b2) ＝(a2－b2)＝， 因为a>0，b>0，且a≠b， 所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0， 所以－(a＋b)>0，即＋>a＋b。 要点二 一元二次不等式及其解法 1.解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图像写出不等式的解集。 2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类。 【例2】　已知不等式ax2－3x＋2<0的解集为{x|1<x<b}。 (1)求实数a，b的值； (2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc≥0(c∈R)。 【解】　(1)由题意可知解得a＝1，b＝2。 (2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc≥0，[来源:学|科|网Z|X|X|K] 即x2－(c＋2)x＋2c≥0，所以(x－2)(x－c)≥0。 若c<2，不等式的解集为{x|x≤c或x≥2}， 若c＝2，不等式的解集为R； 若c>2，不等式的解集为{x|x≤2或x≥c}。 综上所述， 当c<2时，不等式的解集为{x|x≤c或x≥2}； 当c＝2时，不等式的解集为R； 当2时，不等式的解集为{x|x≤2或x≥c}。 (1)二次函数图像与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式。 (2)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿