专题05 手拉手模型构造全等三角形(基础训练)-2021年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题05 手拉手模型构造全等三角形 1、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE. 如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）； 如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程. 2、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点.[来源:学#科#网] 若DE=13，BD=12，求线段AB的长. 3、如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD,△BCE均为等边三角形，连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q，连接PQ,BM.[来源:Z.xx.k.Com] 下面结论：△ABE≌△DBC;∠DMA=60°；△BPQ为等边三角形；MB平分∠AMC.其中正确的有____________[来源:Zxxk.Com] [来源:学*科*网Z*X*X*K] [来源:学科网] 4、如图1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M,连接CM. 求证：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数；当α=90°时，取AD、BE的中点分别为点P、Q，连接CP,CQ,PQ,如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题05 手拉手模型构造全等三角形 1、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE. 如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）； 如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程. 解析： (1)∵△ABC和△ADE是等边三角形 ∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ∴∠BAD=∠EAC 在△ABD和△ACE中 AB=AC ∠BAD=∠EAC AD=AE ∴△ABD≌△ACE(SAS)[来源:学科网ZXXK] ∵△ABD≌△ACE ∴BD=CE ∵BC=BD+CD ∴BC=CE+CD （2）∵△ABC和△ADE是等边三角形 ∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ∴∠BAD=∠EAC 在△ABD和△ACE中 AB=AC ∠BAD=∠EAC[来源:学§科§网Z§X§X§K] AD=AE ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD=CE[来源:Zxxk.Com] ∵BD=BC+CD ∴CE=BC+CD 2、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点. 若DE=13，BD=12，求线段AB的长. ∵△ACE≌△BCD ∴AE=BD,∠EAC=∠B=45° ∵BD=12 ∴∠EAD=45°+45°=90°，AE=12 在Rt△EAD中，∠EAD=90°，DE=13，AE=12，由勾股定理得：AD=5 ∴AB=BD+AD=12+5=17 3、如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD,△BCE均为等边三角形，连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q，连接PQ,BM. 下面结论：△ABE≌△DBC;∠DMA=60°；△BPQ为等边三角形；MB平分∠AMC.其中正确的有____________ 解析： ∵△ABD,△BCE为等边三角形[来源:学+科+网] ∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC ∴∠ABE=∠DBC,∠PBQ=60° 在△ABE和△DBC中 AB=DB ∠ABE=∠DBC BE=BC ∴△ABE≌△DBC ∴(1)正确 ∵△ABE≌△DBC ∴∠BAE=∠BDC ∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60° ∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°（2）正确 ∵在△ABP和△BDQ中 ∠BAP=∠BDQ AB=DB ∠ABP=∠DBQ=60° ∴△ABP≌△DBQ ∴BP=BQ ∴△BPQ为等边三角形（3）正确 ∵∠DMA=60° ∴∠AMC=120° ∴∠AMC+∠PBQ=180° ∴P、B、Q、M四点共圆 ∵= ∴∠BMP=∠BMQ 即MB平分∠AMC 4、如图1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M,连接CM. 求证：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数；当α=90°时，取AD、BE的中点分别为点P、Q，连接CP,CQ,PQ,如