专题07 半角模型在三角形中应用(基础训练)-2021年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题07 半角模型在三角形中应用 1、正方形ABCD中，E是CD边上一点. 将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示，观察可知：与DE相等的线段是______,∠AFB=_______.[来源:学科网ZXXK] 如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ. 2、如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△，当∠DAE=45°时，求证：DE=；在（1）的条件下，猜想：有怎样的数量关系？请写出，并说明理由. 3、如图，E、F是正方形ABCD的边AD、CD上的点，连BE、EF、BF，BF平分∠EBC。 求证：BE=AE+CF 4、正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，求证：EF=BE+DF.[来源:Z。xx。k.Com][来源:学_科_网Z_X_X_K] 5、在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB,AC上移动时，BM, NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系， 如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_______ 如图2，当点M,N边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是______;=_______[来源:学#科#网] 点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题07 半角模型在三角形中应用 1、正方形ABCD中，E是CD边上一点. 将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示，观察可知：与DE相等的线段是______,∠AFB=_______. 如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ. 解析： ∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF, ∵DE=BF,∠AFB=∠AED.[来源:Z*xx*k.Com] 将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2， 则∠D=∠ABE=90° 即点E,BP共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ,BE=DQ ∵∠PAQ=45° ∠PAE=45° ∴∠PAQ=∠PAE 在△APE和△APQ中 AE=AQ ∠PAE=∠PAQ AP=AP △APE≌△APQ(SAS) ∴PE=PQ 而PE=PB+BE=PB+DQ ∴DQ+BP=PQABD 2、如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△，当∠DAE=45°时，求证：DE=；在（1）的条件下，猜想：有怎样的数量关系？请写出，并说明理由. 解析： 因为△ABD绕点A旋转，得到 ∴AD=，∠DAD’=∠BAC=90° ∵∠DAE=45° ∴∠EAD’=∠DAD’-∠DAE=45° ∴在△AED和△中 AE=AE ∠EAD=∠AED’ AD=AD’ ∴△AED≌△AED’ ∴DE=D’E 由（1）得△AED≌△AED’，ED=ED’ 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90° ∴∠B=∠ACB=45° ∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD’ ∴BD=CD’,∠B=∠ACD’=45° ∴∠BCD’=∠ACB+∠ACD’=45°+45°=90° 3、如图，E、F是正方形ABCD的边AD、CD上的点，连BE、EF、BF，BF平分∠EBC。[来源:学|科|网Z|X|X|K] 求证：BE=AE+CF [来源:Zxxk.Com] 解析： 将△CBF逆时针旋转90°得到△ABG, 由旋转的性质可得AG=CF,∠G=∠BFC,∠ABG=∠CBF ∵BF平分∠EBC, ∴∠EBG=∠ABF=∠BFC ∴∠G=∠EBG ∴EG=EB ∴BE=AE+CF. 4、正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，求证：EF=BE+DF. 解析： 如图，由题意得：△ABE≌△ADG ∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,BE=DG ∴FG=BE+DF ∴∠BAE+∠FAD=∠FAD+∠DAG ∵∠EAF=45°，∠BAD=90° ∴∠BAE+∠FAD=90°-45°，∴∠FAG=45°，∠EAF=∠FAG 在△EAF和△GAF中， AE=AG ∠