3.2.2 奇偶性-2020-2021学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）

3.2.2 奇偶性 考点讲解: 考点1：函数奇偶性的判断 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 对于函数f(x)定义域内的任意一个x 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注：具有奇偶性的函数，定义域关于原点对称 【例1】　判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)＝x3＋x； （2）f(x)＝＋； （3）f(x)＝； （4）f(x)＝ 【方法技巧】 判断函数奇偶性的两种方法 （1）定义法： （2）图象法： 【针对训练】 1.下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝； ④f(x)＝x＋；⑤f(x)＝x2，x∈[－1，2]． 考点2：奇偶函数的图象问题 【例2】　已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示． （1）画出在区间[－5，0]上的图象； （2）写出使f(x)<0的x的取值集合． 【变式分析】 (变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题． 【方法技巧】 巧用奇、偶函数的图象求解问题 （1）依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． （2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题． 【针对训练】 2．如图是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据． 考点3：利用函数的奇偶性求值 [探究问题] 对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？ 提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？ 提示：若f(x)为奇函数，则f(0)＝0；若f(x)为偶函数，无法求出f(0)的值． 【例3】　（1）若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________； （2）已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________． 【方法技巧】 利用奇偶性求参数的常见类型及策略 （1）定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． （2）解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解． 【针对训练】 3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________． 考点4：用奇偶性求解析式 【例4】　（1）函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式； （2）设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 【变式分析】 1．把本例(1)的条件“奇函数”改为“偶函数”，当“x>0”改为“x≥0”，再求f(x)的解析式． 2．把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式． 【方法技巧】 利用函数奇偶性求解析式的方法 （1）“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． （2）要利用已知区间的解析式进行代入． （3）利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 考点5：函数单调性和奇偶性的综合问题 [探究问题] 如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？ 如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？ 提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．[来源:学科网ZXXK] 你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？ 提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反． 若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？ 提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|. 角度一　比较大小问题 【例5】　函数y＝f(x)在[0，2]上单调