专题01 截长补短模型证明问题(基础训练)-2021年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题01 截长补短模型证明问题 1、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE. 2、如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD 3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE. 4、已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-∠ADC 5、如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状并证明你的结论； （2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由． （3）求证：PA+PB=PC． 6、如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD. 7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE⊥BC,BD平分∠ABC （1） 证明：∠BAD+∠BCD=180° （2） DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积. 8、已知：在△ABC中，AB=CD-BD,求证：∠B=2∠C. 9、如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD,CE交于点F，点G是线段CD上一点，连接AF，GF，若AF=GF,BD=CD. 求∠CAF的度数 判断线段FG与BC的位置关系，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $ 专题01 截长补短模型证明问题 1、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE. 解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF, ∵CE⊥AB ∴CF=CB ∠CFB=∠B ∵∠AFC+∠CFB=180°，∠D+∠B=180° ∴∠D=∠AFC ∵AC平分∠BAD 即∠DAC=∠FAC 在△ACD和△ACF中 ∠D=∠AFC ∠DAC=∠FAC AC=AC ∴ACD≌△ACF（AAS） ∴AD=AF ∴AE=AF+EF=AD+BE 2、如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD 解析：在AB上取一点E,使AE=AC, 连接DE, ∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD ∴△ACD≌△AED ∴CD=DE,∠C=∠3 ∵∠C=2∠B ∴∠3=2∠B=∠4+∠B ∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE ∵AB=AE+BE ∴AB=AC+CD 3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE. 解析： 延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF,AC ∵∠1+∠2=180°，∠E+∠1=180° ∴∠2=∠E ∵AB=AE,∠2=∠E,BF=DE ∴△ABF≌△AED ∠F=∠4，AF=AD ∵BC+BF=CD 即FC=CD 又∵AC=AC ∴△ACF≌△ACD ∴∠F=∠3 ∵∠F=∠4 ∴∠3=∠4 ∴AD平分∠CDE. 4、已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-∠ADC 解析： 如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK, ∵∠ABC+∠ADC=180° ∴∠BAD+∠BCD=180° ∵∠BCD+∠BCK=180° ∴∠BAD=∠BCK 在△BAP和△BKC中 AP=CK ∠BAP=∠BCK AB=BC ∴△BPA≌△BKC（SAS） ∴∠ABP=∠CBK,BP=BK ∵PQ=AP+CQ ∴PQ=QK ∵在△BPQ和△BKQ中 BP=BK BQ=BQ PQ=KQ ∴△BPQ≌△BKQ(SSS) ∴∠PBQ=∠KBQ ∴∠PBQ=∠ABC ∵∠ABC+∠ADC=180° ∴∠ABC=180°-∠ADC ∴∠ABC=90°-∠ADC ∴∠PBQ=90°-∠ADC 5、如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状并证明你的结论； （2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由． （3）求证：PA+PB=PC． 【答案】（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，理由见解析；（3）证明见解析． 【分析】 （1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，则可得∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状； （2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明△OAP和△OBP均为等边三角形，得到OA=AP=OB=BP即可得证； （3）在PC上