专题02 倍长中线模型构造全等三角形(提升训练)-2021年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题02 倍长中线模型构造全等三角形 1. 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． 2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD． 求证：AB=AC． [来源:Z*xx*k.Com] 3. 如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE． 4. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F． 求证：∠AEF=∠EAF． 5. 如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF． 求证：AD为△ABC的角平分线． [来源:学科网] 6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长． [来源:Z,xx,k.Com] 7. 如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG． 求证：EG=CG且EG⊥CG． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 $$ 专题02 倍长中线模型构造全等三角形 1. 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． 1. 解：（1）如图， （2）证明：如图， ∵AD为BC边上的中线 ∴BD=CD 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（SAS） （3）证明：如图， ∵△BDE≌△CDA ∴BE=AC ∵DE=AD ∴AE=2 AD 在△ABE中，AB+BE>AE ∴AB+AC>2AD （4）在△ABE中， ABBE<AE<AB+BE 由（3）得 AE=2AD，BE=AC ∵AC=3，AB=5 ∴53<AE<5+3 ∴2<2AD<8 ∴1<AD<4 [来源:学&科&网Z&X&X&K] 2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD． 求证：AB=AC． 2. 证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE 在△ADC和△EDB中 ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴AC=EB，∠2=∠E ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 3. 如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE． 3. 证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF ∴CF=2CD ∵CD是△ABC的中线 ∴BD=AD 在△BDF和△ADC中 ∴△BDF≌△ADC（SAS） ∴BF=AC，∠1=∠F ∵CB是△AEC的中线 ∴BE=AB ∵AC=AB ∴BE=BF ∵∠1=∠F ∴BF∥AC ∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC=AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE=∠CBF 在△CBE和△CBF中 ∴△CBE≌△CBF（SAS） ∴CE=CF，∠2=∠3 ∴CE=2CD CB平分∠DCE [来源:学科网ZXXK] 4. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F． 求证：∠AEF=∠EAF． 4. 证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM ∵D是BC边的中点 ∴BD=CD 在△ADC和△MDB中[来源:学科网ZXXK] ∴△ADC≌△MDB（SAS） ∴∠1=∠M，AC=MB ∵BE=AC ∴BE=MB ∴∠M=∠3[来源:Zxxk.Com] ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF=∠EAF 5. 如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF． 求证：AD为△ABC的角平分线． 5. 证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM ∵点E是BC的中点 ∴BE=CE 在△CFE和△BME中 ∴△CFE≌△BME（SAS） ∴CF=BM，∠F=∠M ∵BG=CF ∴BG=BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD∥EF ∴∠3=∠F，∠1=∠2 ∴∠2=∠3 即AD为△ABC的角平分线 6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长