专题03 一线三垂直模型构造全等三角形-2021年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题03 一线三垂直模型构造全等三角形 【专题说明】 一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。 【知识总结】 过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。 过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS） 常见的两种图形： 图1 图2 1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE. 当α=45°时，求△EAD的面积. 当α=30°时，求△EAD的面积 当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论. 解析： ∵AD∥BC,DG⊥BC ∴∠GDF=90° 又∵∠EDC=90° ∴∠1=∠2 在△CGD和△EFD中 ∠DGC=∠DFE ∠1=∠2 CD=DE ∴△DCG≌△DEF ∴EF=CG ∵AD∥BC,AB⊥BC, AD=2，BC=3 ∴BG=AD=2 ∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关 2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：BC=2AP 解析：过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N ∵四边形ACFG是正方形 ∴AC=AG,∠CAG=90° ∴∠CAH+∠ACH=90° ∴∠ACH=∠GAM 在△ACH和△GAM中 ∠AHC=∠GMA ∠ACH=∠GAM AC=GA ∴△ACH≌△GAM ∴CH=AM,AH=GM 同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP ∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP 3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由. 解析：（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE ∴∠BDA=∠AEC=90° ∴∠ABD+∠BAD=90° ∵∠BAC=90° ∴∠BAD+∠EAC=90°[来源:学科网ZXXK] ∴∠ABD=∠EAC 在△ABD和△CAE中 ∠ADB=∠CEA=90° ∠ABD=∠EAC AB=CA ∴△ABD≌△CAE(AAS) AD=CE,BD=AE ∵AE=AD+DE ∴BD=DE+CE （2）在△ABD和△CAE中 ∠ADB=∠CEA=90° AB=CA ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴AD=CE,BD=AE[来源:学科网] ∵AE=DE-AD ∴BD=DE-CE. 4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC的长为（ ） 解析: ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB=90°[来源:Zxxk.Com] ∵∠ABC=45° ∴∠BAD=45° ∴∠ABC=∠BAD ∴AD=BD ∵∠CAD+∠AFE=90°，∠CAD+∠C=90°，∠AFE=∠BFD ∴∠AFE=∠C 在△BDF和△ADC中 ∠CAD=∠FBD AD=BD ∠BDF=∠ADC ∴△BDF≌△ADC（ASA） ∴DF=CD=4 ∴AD=AF+DF=2+4=6=BD ∴BC=BD+CD=6+4=10[来源:学科网] 5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（ ） 解析： ∵ABCD是正方形 ∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90° ∵∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAE ∴∠ABF=∠DAE 在△AFB和△AED中 ∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠AED,AB=AD ∴△AFB≌△AED ∴AF=DE=4，BF=AE=3 ∴EF=AF+AE=4+3=7 6、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（ ） 解析： ∵矩形ABCD中，EF⊥EC, ∴∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEF=90° ∴∠AEF=∠DCE, 又∵EF=EC ∴△AEF≌△DCE（AAS） ∴AE=CD ∵矩形的周长为16，即2CD+2AD=16， ∴CD+AD=8 ∴AD-2+AD=8 AD=5 ∴AE=AD-DE=5-2=3. 7、如图，在△AB