第五讲 等腰三角形综合-2020-2021学年八年级上册数学讲义（苏科版）

第五讲 等腰三角形的轴对称性 一、知识点梳理 1.等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角． （2）性质：①两底角相等。②顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （3）判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）；②有两个角相等的三角形是等腰三角形。 2.等边三角形 （1）定义：在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形也称为正三角形。 （2）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。 （3）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、典型例题 【考点1 等腰三角形的性质】 【例1】已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（　　） A．50° B．130° C．50°或 140° D．50°或 130° 、【答案】解：当为锐角时，如图： ∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°， ∴∠A＝50°， 当为钝角时，如图： ∠ADE＝40°，∠DAE＝50°， ∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°． 故选：D． 【变式1】如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（　　） A．3∠1﹣∠2＝180° B．2∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．∠1＝2∠2 【答案】解：∵AB＝AC＝BD， ∴∠B＝∠C＝180°﹣2∠1， ∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1， ∴3∠1﹣∠2＝180°． 故选：A． 【考点2 等腰三角形的判定】 【例2】如图，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求证：△DGE是等腰三角形． 【答案】解：连接AG， ∵DE∥BC， ∴∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2． 又∵∠1＝∠2， ∴∠ABC＝∠ACB． 又∵G为BC中点， ∴AG⊥BC． ∴AG⊥DE且平分DE， ∴DG＝GE． ∴△DGE是等腰三角形． 【变式2】如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．求证：△BED是等腰三角形． 【答案】证明∵BD是△