专项训练4 根与系数的关系的四种应用类型-2020-2021学年九年级数学全册考点专项训练及单元检测（北师大版）

专项训练4　根与系数的关系的四种应用类型 方法指导：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0. 类型1： 1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值． (1)(x1－3)(x2－3)； (2)； ＋ (3)x1－x2. 类型2： 利用根与系数的关系构造一元二次方程 2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数． 类型3： 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 3．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值． 类型4： 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性 4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有 x1＋x2＝. ，x1x2＝－ (1)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－＋9＝3. －3× (2)＝ ＋ ＝ ＝ ＝ . ＝ (3)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝， ＝－4× ∴x1－x2＝±. ＝± 2．解：设方程5x2＋2x－3＝0的两根为x1，x2， 则x1＋x2＝－. ，x1x2＝－ 设所求方程为y2＋py＋q＝0，其两根为y1，y2， 令y1＝－. ，y2＝－ ∴p＝－(y1＋y2)＝－， ＝＝＋＝ q＝y1y2＝. ＝－＝ ∴所求的方程为y2＋＝0，即3y2＋2y－5＝0. y－ 3．解：(1)∵方程x2－4x＋m＝0有实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4m≥0， ∴m≤4. (2)∵方程x2－4x＋m＝0的两实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝4，① 又∵5x1＋2x2＝2，② 联立①②解方程组得 ∴m＝x1·x2＝－2×6＝－12. 4．解：不存在．理由如下： ∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个