专题七 几何综合应用-2021年中考数学核心考点强化突破（全国通用）

专题七　几何综合应用 类型1　以三角形为背景的计算和证明问题 1．如图，一条4 m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为____ m2. 2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α(0＜α≤180°)，记直线BD1与CE1的交点为P. [来源:Z&xx&k.Com][来源:学.科.网Z.X.X.K] (1)如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于__2__；(直接填写结果) (2)如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1； (3)求点P到AB所在直线的距离的最大值．(直接写出结果) [来源:Zxxk.Com] [来源:学科网] 3．如图，已知△ABC中AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点． (1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？[来源:学科网ZXXK] (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 类型2　以四边形为背景的计算和证明问题 4．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF.设CE＝a，CF＝b. (1)如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a，b的值； (2)当△AEF是直角三角形时，求a，b的值； (3)如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由． 5．已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t(s)． (1)当t＝1 s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式； (2)当t＝2s时，求tan∠QPA的值； (3)当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t(s)的值； (4)连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题七　几何综合应用 类型1　以三角形为背景的计算和证明问题 1．如图，一条4 m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为____ m2. 【解析】如图，作DE⊥AC于点E， 可证△DAE∽△ACB∴＝.即：＝解得：AB＝16(m)，∴道路的面积为AD×AB＝5×16＝80(m2)． 2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α(0＜α≤180°)，记直线BD1与CE1的交点为P. (1)如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于__2__；(直接填写结果) (2)如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1； (3)求点P到AB所在直线的距离的最大值．(直接写出结果)[来源:学_科_网] 解：(2)证明：当α＝135°时，由旋转可知∠D1AB＝∠E1AC＝135°.又∵AB＝AC，AD1＝AE1，∴△D1AB≌△E1AC.∴BD1＝CE1且∠D1BA＝∠E1CA.设直线BD1与AC交于点F，有∠BFA＝∠CFP，∴∠CPF＝∠FAB＝90°.∴BD1⊥CE1. (3)1＋(四边形AD1PE1为正方形时，距离最大，此时PD1＝2，PB＝2＋2)． 3．如图，已知△ABC中AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点． (1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？[来源:Zxxk.Com] 解：(1)①∵t＝1(秒)，∴BP＝CQ＝3(厘米) ∵A