专题八 与圆有关的证明与计算-2021年中考数学核心考点强化突破（全国通用）

专题八　与圆有关的证明与计算 类型1　与圆有关的性质有关的证明与计算 1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(4，0)，C(0，5)，点D在第一象限内，且∠ADB＝45°.线段CD的长的最小值为____． 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C.[来源:学科网ZXXK] [来源:学|科|网Z|X|X|K] (1)求证：CB∥PD； (2)若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径． 解：(1)证明：∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P.∴CB∥PD. 类型2　与圆的切线有关的证明与计算 3．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC(C为切点)和割线PAB，分别交⊙O于A，B，连接AC，BC. (1)求证：∠PCA＝∠PBC； (2)利用(1)的结论，已知PA＝3，PB＝5，求PC的长．[来源:学科网] [来源:学科网ZXXK] 4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O(圆心O在△ABC内部)经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F.延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D. (1)求证：四边形CDEF是平行四边形； (2)若BC＝3，tan∠DEF＝2，求BG的值． 5．已知：如图，AC是⊙O的直径，圆心为点O，过A，C两点分别作⊙O的切线，过圆心O的直线分别交这两条切线于B，D两点． (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若AB，CD分别过⊙O上的点E，F，判断四边形AECF的形状，并证明你的结论；[来源:学.科.网] (3)若⊙O的半径为3，BC＝2，求图中四边形ABCD被⊙O割后余下图形(阴影部分)的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题八　与圆有关的证明与计算 类型1　与圆有关的性质有关的证明与计算 1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(4，0)，C(0，5)，点D在第一象限内，且∠ADB＝45°.线段CD的长的最小值为__5－__．[来源:Z*xx*k.Com] [来源:Zxxk.Com] 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C. (1)求证：CB∥PD； (2)若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径． 解：(1)证明：∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P.∴CB∥PD. (2)连接AC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴＝.∴∠P＝∠CAB，∴sin∠CAB＝，即＝.又知，BC＝3，∴AB＝5.∴⊙O直径为5. 类型2　与圆的切线有关的证明与计算 3．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC(C为切点)和割线PAB，分别交⊙O于A，B，连接AC，BC. (1)求证：∠PCA＝∠PBC； (2)利用(1)的结论，已知PA＝3，PB＝5，求PC的长．[来源:Z,xx,k.Com] 解：(1)证明：连接OC，OA，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO.∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC.∴∠PCO＝90°，∠PCA＋∠ACO＝90°.在△AOC中，∠ACO＋∠CAO＋∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠PBC，∴2∠ACO＋2∠PBC＝180°.∴∠ACO＋∠PBC＝90°.∵∠PCA＋∠ACO＝90°，∴∠PCA＝∠PBC. (2)∵∠PCA＝∠PBC，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB.∴＝，即PC2＝PA·PB.∵PA＝3，PB＝5，∴PC＝＝. 4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O(圆心O在△ABC内部)经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F.延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D. (1)求证：四边形CDEF是平行四边形； (2)若BC＝3，tan∠DEF＝2，求BG的值． 解：(1)连接CE，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵EF是⊙O的切线，∠FEO＝90°，∴∠EOC＝2∠B＝90°，∴EF∥OD，又∵DE∥CF，∴四边形CDEF是平行四边形； (2)过G作GN⊥BC于N，∴△GMB是等腰直角三角形，∴MB＝GM，∵四边形CDEF是平行四边形，∴∠FCD＝∠FED，∵∠ACD＋∠GCB＝∠GCB＋∠CGM＝90°，∴∠CGM＝∠ACD，∴∠CGM＝∠DEF，∵tan∠DEF＝2，∴tan∠CGM＝＝2，∴CM＝2GM，∴CM＋BM＝2GM＋GM＝3，∴GM＝1，∴BG＝GM＝. 5．已知：如图，AC是⊙O的直径，圆心为点O，过A，C两点分别作⊙O的切线，过圆心O的直线分别交这两条切线于B，D两点． (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若