专题十一 几何、代数最值问题-2021年中考数学核心考点强化突破（全国通用）

专题十一　几何、代数最值问题 类型1　利用对称、线段公理求最小值 1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是( ) A．6 B．10 C．2 D．2 2．如图，直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为( ) A．(－3，0) B．(－6，0) C．(－，0) D．(－，0) 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(－4，5)，D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是( ) A．(0，) B．(0，) C．(0，2) D．(0，) 5．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE＝1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是____． 6．如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE(如图1)，点O为其交点． (1)探求AO与OD的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若P，N分别为BE，BC上的动点． ①当PN＋PD的长度取得最小值时，求BP的长度； ②如图3，若点Q在线段BO上，BQ＝1，则QN＋NP＋PD的最小值＝__． 类型2　利用函数性质求最值 7．已知函数y＝mx2－(2m－5)x＋m－2的图象与x轴有两个公共点． (1)求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式； (2)题(1)中求得的函数记为C1， ①当n≤x≤－1时，y的取值范围是1≤y≤－3n，求n的值； ②函数C2：y＝m(x－h)2＋k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上，设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．[来源:学.科.网Z.X.X.K] [来源:学_科_网Z_X_X_K] 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．[来源:学科网] [来源:学*科*网Z*X*X*K] (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；[来源:学_科_网Z_X_X_K] (3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题十一　几何、代数最值问题 类型1　利用对称、线段公理求最小值 1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是( C ) A．6 B．10 C．2 D．2 解：由已知得M(6，)，N(，6)，∴BN＝6－，BM＝6－，∵△OMN的面积为：6×6－×6×－×6×－×(6－)2＝10，∴k＝24，∴M(6，4)，N(4，6)，作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM＋PN的最小值，∵AM＝AM′＝4，∴BM′＝10，BN＝2，∴NM′＝＝＝2.[来源:Z*xx*k.Com] 2．如图，直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为( C ) A．(－3，0) B．(－6，0) C．(－，0) D．(－，0) 解：(方法一)作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC＋PD值最小，如图1所示．可求点B(0，4)；A(－6，0)． ∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C(－3，2)，点D(0，2)．∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为(0，－2)．设直线CD′的解析式为y＝kx＋b，∵直线CD′过点C(－3，2)，D′(0，－2)，可求CD′的解析式为y＝－x－2.令y＝－x－2中y＝0，则0＝－x－2，解得：x＝－，∴点P(－，0)．(方法二)连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC＋PD值最小，如图2所示． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C