专题五 函数与几何综合运用-2021年中考数学核心考点强化突破（全国通用）

专题五　函数与几何综合运用 类型1　存在性问题 存在性问题一般有以下题型：是否存在垂直、平行——位置关系；等腰、直角三角形、(特殊)平行四边形——形状关系；最大、最小值－－数量关系等． 1．如图，已知二次函数y1＝－x2＋x＋c的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx＋b. (1)求二次函数的解析式及点B的坐标； (2)由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． [来源:学_科_网Z_X_X_K] [来源:学科网ZXXK] 2．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB. (1)求抛物线的解析式； (2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标； (3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 类型2　几何最值、定值问题 3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′.抛物线y＝－x2＋2x＋3经过点A、C、A′三点． (1)求A、A′、C三点的坐标； (2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分的面积； (3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标． [来源:学科网ZXXK] [来源:学,科,网] [来源:Z&xx&k.Com] 4．如图，已知抛物线y＝ax2－2ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N. (1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标； (3)证明：当直线l绕点D旋转时，＋均为定值，并求出该定值． 类型3　反比例函数与几何问题 5．如图，P1，P2是反比例函数y＝(k＞0)在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为(4，0)．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1，P2为直角顶点． ①求反比例函数的解析式． ②(Ⅰ)求P2的坐标． (Ⅱ)根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1，P2的一次函数的函数值大于反比例函数y＝的函数值． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D，M分别在边AB，OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx＋b的图象过点D和M，反比例函数y＝的图象经过点D，与BC的交点为N. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题五　函数与几何综合运用 类型1　存在性问题 存在性问题一般有以下题型：是否存在垂直、平行——位置关系；等腰、直角三角形、(特殊)平行四边形——形状关系；最大、最小值－－数量关系等． 1．如图，已知二次函数y1＝－x2＋x＋c的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx＋b. (1)求二次函数的解析式及点B的坐标； (2)由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)将A(4，0)代入y1＝－x2＋x＋c，得－42＋×4＋c＝0，解得c＝3.∴所求二次函数的解析式为y1＝－x2＋x＋3.∵当x＝0时，y1＝3，∴点B的坐标为(0，3)． (2)满足y1＜y2的自变量x的取值范围是：x＜0或x＞4. (3)存在，理由如下：作线段AB的中垂线l，垂足为C，交x轴于点P1，交y轴于点P2.∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA＝4，OB＝3.∴在Rt△AOB中，AB＝＝5.∴AC＝BC＝.∵Rt△ACP1与Rt△AOB有公共∠OAB，∴Rt△ACP1∽Rt△AOB.∴＝，即＝，解得AP1＝.而OP1＝OA－AP1＝4－＝，∴点P1的坐标为(，0)．又∵Rt△P2CB与Rt△AOB有公共∠OBA，∴Rt△P2CB∽Rt△AOB.∴＝，即＝，解得P2B＝.而OP2＝P2B－OB＝－3＝，∴点P2的坐标为(0，－)．∴所求点P的坐标为(，0)或(0，－)． 2．如图，抛