考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件 【命题解读】 1．了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系. 2．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 【命题预测】 常用逻辑用语是高考必考知识点，常以选择题的形式出现，多与不等式、函数等知识相交汇，预计2021年高考仍以选题的形式呈现. 【复习建议】 一、命题及其关系 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 命题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 若q，则p 否命题 若，则 逆否命题 若，则 (2)四种命题间的关系 (3)常见的否定词语 正面词语 = >(<) 是 都是 任意(所有)的 任两个 至多有1(n)个 至少有1个 否定词 () 不是 不都是 某个 某两个 至少有2(n+1)个 1个也没有 3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动． 二、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 (1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件； (3)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件； (4) 若p⇔q，则p是q的充要条件； (5) 若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件. 2．必记结论 (1)等价转化法判断充分条件、必要条件 ①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件； ②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件； ③p是q的充要条件是的充要条件； ④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则 ①若，则p是q的充分条件； ②若，则p是q的必要条件； ③若，则p是q的充分不必要条件； ④若，则p是q的必要不充分条件； ⑤若，则p是q的充要条件； ⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件. 考向一 四种命题的关系及其真假的判断 四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： 1．判断四种命题间关系的方法 ①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． ②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用. 2．命题真假的判断方法 ①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可． ②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假. 典例1 已知命题：“若a＜b，则ac2＜bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】原命题：“若，则”，当时不成立，所以为假命题；则它的逆否命题也为假命题； 其逆命题为“若，则”，为真；所以其否命题也为真命题； 故命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是2. 故选C. 典例2 下列命题中为真命题的是 A．命题“若，则”的逆命题 B．命题“若，则”的否命题 C．命题“若，则”的逆否命题 D．命题“若，则”的逆命题 【答案】D 【解析】命题“若，则”的逆命题为“若，则”，由于，所以为假命题； 命题“若，则”的否命题为“若，则”，由于，所以为假命题； 命题“若，则”的逆否命题与原命题同真假，因为，所以为假命题； 命题“若，则”的逆命题为“若，则”，因为，所以为真命题.选D． 考向二 充分、必要条件的判断 充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下： 1．命题判断法 设“若p，则q”为原命题，那么： (1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件； (3)当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件； (4