专题08 空间向量与立体几何（知识梳理）-2020-2021学年高二数学（理）单元复习（人教A版选修2-1）

专题08 空间向量与立体几何（知识梳理） 用向量法证明平行或垂直 一、知识储备 1、空间向量的坐标运算：设 ， ： (1) ； (2) ； (3) ； (4) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = ， = ， = ( )； (5) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + + = ； (6)模长公式：若 ，则 ； (7)夹角公式： (8)两点间的距离公式： 若 ， ，则： ； 2、平面的法向量 (1)定义：如图，直线 ，取直线 的方向向量 ，则向量 叫做平面 的法向量。给定一点 和一个向量 ，那么过点 ，以向量 为法向量的平面是完全确定的。 (2)平面法向量的求法：求平面法向量的步骤： ①设出平面的法向量为 ； ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ； ③根据法向量的定义建立关于 、 、 的方程组 ； ④解方程组，取其中的一组解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。 3、平行与垂直的向量表示 设直线 、 的方向向量分别为 、 ，平面 、 的法向量分别为 、 ，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， ； EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， ； EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， ； EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 。 二、模板解决步骤 1、选点建立空间直角坐标系，并把相应的点用坐标的形式表示出来。 2、把证明线线、线面、面面平行或垂直的相关向量用坐标表示出来。 3、根据线线、线面、面面平行或垂直列式计算。 4、证出结论。 三、母题呈现 例1．如图所示，四棱柱 的底面 是正方形， 为底面中心， 平面 ， 。证明： (1) 平面 。 (2)求平面 与平面 的夹角 的大小。 四、解题思路方法总结 1、平行问题的空间向量证明方法 (1)证明空间两直线平行，可先转换为空间两向量共线，即只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明 ，只需证明 。 (2)证明线面平行有两种思路： ①用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行； ②求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可。对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在。 注意：设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算；注意点的坐标的范围。 (3)证明面面平行有两种思路： ①利用向量证明一平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线即可，根据面面判定定理即得，也就是将其转化为证明线线平行的问题。 ②求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行。 (3)遇到中点问题常做中位线，用中位线定理解题，也是几何中的常用方法。 练习1-1．在三棱柱 中，侧棱垂直于底面，在底面 中 ， 是 上一点，且 面 ， 为 的中点，求证：平面 平面 。 2、垂直问题的证明方法 (1)证明线线垂直，可以转化为对应的向量垂直，即证明所证直线的方向向量的数量积为 ，如证明 ，只需证明 。 (2)证明线面垂直有两种思路： ①先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行。 ②直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理证明。