专题09 空间向量与立体几何（同步练习）-2020-2021学年高二数学（理）单元复习（人教A版选修2-1）

专题09 空间向量与立体几何（同步练习） 一、空间向量基础知识 1-1．对于任意空间向量 ，给出下列三个命题：① ；②若 ，则 为单位向量；③ 。其中真命题的个数为( )。 A、 B、 C、 D、 1-2．在四面体 中， 是 重心， 是 上一点，且 ，若 ，则 为( )。 A、 B、 C、 D、 1-3．设 ， ， ， ，(其中 、 、 是两两垂直的单位向量)，若 ，则实数 、 、 的值分别是( )。 A、 ， ， B、 ， ， C、 ， ， D、 ， ， 二、直线与直线成角 2-1．如图所示，点 在正方形 所在的平面外， 平面 ， ，则异面直线 与 所成的角是( )。 A、 B、 C、 D、 2-2．如图所示，在三棱锥 中， 平面 ， 是棱 的中点，已知 ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )。 A、 B、 C、 D、 2-3．已知二面角 为 ， ， ， 为垂足， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )。 A、 B、 C、 D、 三、直线与平面成角 3-1．如图，在长方体 中， ， ，点 在棱 上，且 ，则 的面积的最小值为 ，此时棱 与平面 所成角的正弦值为 。 四、平面与平面成角 4-1．如图所示， 是二面角 棱上的一点，分别在 、 平面内引射线 、 ，如果 ， ，那么二面角 的大小为( )。 A、 B、 C、 D、 4-2．已知经过点 ，法向量为 的平面方程为 ，现给出平面 的方程为 ，平面 的方程为 ，则平面 、 成角的余弦值为( )。 A、 B、 C、 D、 五、空间距离 5-1．已知在棱长均为 的正三棱柱 中，点 为 的中点，若在棱 上存在一点 ，使得 平面 ，则 的长度为( )。 A、 B、 C、 D、 5-2．已知在正四棱柱 中， ， ， 为 的中点，则直线 与平面 的距离为( )。 A、 B、 C、 D、 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题09 空间向量与立体几何（同步练习） 一、空间向量基础知识 1-1．对于任意空间向量 ，给出下列三个命题：① ；②若 ，则 为单位向量；③ 。其中真命题的个数为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】① 、 、 有可能有 ，例如 、 ，则 ， 但不能推出 ，错； ② ，则 ，不是单位向量，错； ③ ，对；故选B。 1-2．在四面体 中， 是 重心， 是 上一点，且 ，若 ，则 为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】连接 交 于点 ，则 为 中点， ， 则 ，∵ ，∴ ， ∴ ， 故选A。 1-3．设 ， ， ， ，(其中 、 、 是两两垂直的单位向量)，若 ，则实数 、 、 的值分别是( )。 A、 ， ， B、 ， ， C、 ， ， D、 ， ， 【答案】B 【解析】 ， 即 ， 则 ， ， ，故选B。 二、直线与直线成角 2-1．如图所示，点 在正方形 所在的平面外， 平面 ， ，则异面直线 与 所成的角是( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】将其还原成正方体 ， ， 且 ，则 为正三角形， 则 与 成角为 ，即 与 成角为 ，故选B。 2-2．如图所示，在三棱锥 中， 平面 ， 是棱 的中点，已知 ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】∵ 平面 ，∴ 、 ， 过点 作 ，又 ，则 、 、 两两垂直， 如图，以 为坐标原点，直线 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 则 、 、 、 ， 又 为 中点，则 故 ， ， ∴ ， 设异面直线 与 所成的角为 ，则 ，故选C。 【解析】还原长方体，则 ， ， 则异面直线 与 所成的角为 与 所成的角即 ， 在 中， ， ， ， ∴ ，故选C。 2-3．已知二面角 为 ， ， ， 为垂足， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】在长方体中求解该问题， 平面为平面 ， 平面为平面 ， 由于二面角 为 ，∴ ， 设边长 ，则 ，