2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-2020-2021学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 考点讲解 考点1：一元二次不等式的解法 1．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 2．解一元二次不等式常用方法 （1）因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是x1<x<x2；不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是x>x1或x<x2． （2）配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集． 3．三个“二次”的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 不等式的集解得 f(x) ＞0 {x|x＜x1 或 x＞x2} R f(x)＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 【例1】　解下列不等式： （1）6x2＋5x＋1>0； （2）2x2＋7x＋3>0； （3）－2x2＋3x－2<0. （4）(x＋1)(x－7)≤2. 【方法技巧】 1. 利用因式分解法求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)的解集时，其关键是利用“十字相乘法”分解因式，同时要注意a的符号．　　 2. 用配方法解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集时，首先将x2的系数转化为正值，然后配方成a(x－h)2>k或a(x－h)2<k的形式解决．　　 3. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集． 【针对训练】 解不等式： （1）x2－4x－5≤0； （2）－4x2＋18x－≥0； （3）－x2＋6x－10>0. 考点2：含参数的一元二次不等式的解法 【例2】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 【方法技巧】 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并． 【针对训练】 2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)． 考点3：一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系 [探究问题] 1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？ 2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？ 3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？ 【例3】　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 【变式分析】 1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． 2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是.求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 【方法技巧】 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： （1）根据解集来判断二次项系数的符号； （2）根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； （3）约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 考点4：分式不等式的解法（化分式不等式为整式不等式） 类型 同解不等式 >0(<0) 法一：或 法二：f(x)·g(x)>0(<0) ≥0(≤0) 法一： 或 法二： >a 先移项转化为上述两种形式 【例4】　解下列不等式： （1）<0； （2）≤1. 【方法技巧】 1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为