3.2.1 函数单调性与最（小）值-2020-2021学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）

3.2.1 函数单调性与最（小）值 考点讲解 考点1：求函数的单调区间 1．增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2) 结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图示 2．函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【例1】　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． （1）f(x)＝－；（2）f(x)＝ （3）f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 【方法技巧】 求函数单调区间的方法 （1）利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解； （2）利用函数的图象，如本例(3)． 提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)． 【针对训练】 1.（1）根据如图说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数； （2）写出y＝|x2－2x－3|的单调区间． 考点2：函数单调性的判定与证明 【例2】　证明函数f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数． 思路点拨：―→ 【方法技巧】 利用定义证明函数单调性的步骤 （1）取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. （2）作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． （3）定号：确定f(x1)－f(x2)的符号． （4）结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性． 提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式． 【针对训练】 2．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数． 考点3：函数单调性的应用 [探究问题] 若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？ 提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a<b. 决定二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c单调性的因素有哪些？ 提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a的符号及－的大小． 【例3】 （1）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是_______． （2）已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________． [思路点拨]　(1) (2) 【变式分析】 1.(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围． 2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围． 【方法技巧】 函数单调性的应用 （1）函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围． （2）若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 考点4：求函数的最值(值域) 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 【例4】　已知函数f(x)＝ （1）在直角坐标系内画出f(x)的图象； （2）根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． 【例5】　已知函数f(x)＝. （1）判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值． 【方法技巧】 1. 利用图象求函数最值的方法 （1）画出函数y＝f(x)的图象； （2）观察图象，找出图象的最高点和最低点； （3）写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值． 2.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 （1）判断函数的单调性． （2）利用单调性求出最大(小)值． 3．函数的最大(小)值与单调性的关系 （1）若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．