3.1 勾股定理-2020-2021学年八年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

勾股定理 知识点一、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1. 勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2. 在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 例：三个正方形的面积如图所示，则面积为A的正方形的边长为（　　） A．164 B．36 C．8 D．6 【解答】D 【解析】由勾股定理得，BC2＝CD2﹣BD2＝110﹣64＝36， 即面积为A的正方形的边长＝6， 故选D． 知识点二、勾股定理的证明 1. 证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2. 证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3. 证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 例：把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为　　． 【解答】4 【解析】6﹣4＝2， 2×2＝4． 故图2中小正方形ABCD的面积为4． 故答案为4． 巩固练习 一．选择题 1． 我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是（　　） A．分类思想 B．方程思想 C．转化 D．数形结合 2． 在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是（　　） A．3 B．4 C．2或6 D．2或4 3． 在△ABC中，若∠B+∠C＝90°，则（　　） A．BC＝AB+AC B．AC2＝AB2+BC2 C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AB2+AC2 4． 如图，正方形ABCD的面积是（　　） A．5 B．25 C．7 D．1 5． 若直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边的长为（　　） A．17 B．7 C．14 D．13 6． 如图，把等腰直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则∠1+∠2的度数为（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 7． 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1 B．2021 C．2020 D．2019 8． 如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CDAB，则下列结论错误的是（　　） A．AD＝BD B．∠A＝30° C．∠ACB＝90° D．AC2+BC2＝AB2 9． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（　　） A．5 B．7 C． D． 10．如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（　　） A．9 B．5 C．53 D．45 11．如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD，则△ABC的面积是（　　） A．18 B．36 C．72 D．125 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（　　） A．1.5 B．2.4 C．2.5 D．3.5 二．填空题 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A＝32°，则∠BCD＝　 　°． 14．直角三角形的直角边长分别为8，15，斜边长为x，则x2＝　 　． 15．已知直角三角形的两直角边长分别是3，4，则它的周长为　 　． 16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是　 　． 17．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　 　． 三．解答题 18．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2﹣CD2．求证：AB＝BC． 19．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC