策略 第二讲 函数考题 解变应用-数学变式的策略与实践

5 第一篇  数学变式之策略 第二讲  函数考题  解变应用 【例 1】（2018 · 文数全国Ⅲ卷 ) 已知函数 f x x x( ) ln( 1 ) 1= + − +2 ， f a( ) = 4 ，则 f a(− =) 。 【解法 1】运用对数运算法则整体处理。 由 f x x x( ) ln( 1 ) 1= + − +2 ，可知 f x f x x x x x x x( ) ( ) ln( 1 ) 1 ln( 1 ) 1 ln[( 1 ) ] 2 ln1 2 2+ − = + − + + + + + = + − + = + =2 2 2 2 2 ， 所以， f a f a( ) ( ) 2+ − = 。 故当 f a( ) 4= 时， f a( ) 2− = − 。 【解法 2】构造函数，利用函数的奇偶性求解。 令 g x f x x x( ) ( ) 1 ln( 1 )= − = + −2 ， 因为 g x x x g x( ) ln( 1 ) ln ln ( )− = + − = = = −2 ( 1 )( 1 ) 1x x x x 2 2+ − + + x x x x2 2+ − + −1 1 ， 所以， g x( ) 是奇函数。 所以有 f a f a g a g a( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 2+ − = + + − + = 。 故当 f a( ) 4= 时， f a( ) 2− = − 。 【 点 评 】 本 题 是 函 数 奇 偶 性 的 一 个 经 典 应 用， 要 观 察 到 函 数 的 某 一 部 分 是 具 有 奇 偶 性 的， 而 另 外 一 部 分 是 常 数， 因 此 要 灵 活 运 用 奇 偶 性。 本 题 主 要 难 点 在 于 判 断 函 数 g x x x( ) ln( 1 )= + −2 的奇偶性。判断奇偶性时运用了分子有理化的技巧，在求解根式差的有关 问题时，我们把变形技巧“ x x1 2− = = ( )( )x x x x1 2 1 2− + x x x x1 2 1 2+ + x x1 2− ”称为“分子有理 化”。所谓分子有理化就是化去分子中的根号，它是代数恒等变换的一种重要手段，在解决许 多数学问题时有着重要的作用。利用分子有理化我们可以证得一般结论如下。 【结论 1】函数 f x x x a a( ) log ( 1 )( 0, 1)= + + > ≠a 2 且 和 f x x x a a( ) log ( 1 )( 0, 1)= + − > ≠a 2 且 都是奇函数。 6 数学变式的策略与实践 【 结 论 2】 已 知 函 数 f x x x a a( ) log ( 1 )( 0, 1)= + + > ≠a 2 且 或 f x x x a( ) log ( 1 )( 0,= + − >a 2 且a ≠ 1) ，则 f x f x( ) ( ) 0+ − = 。 　　更一般地，有结论如下。 【 结 论 3】 函 数 y x x a a= + + > ≠log ( ( ) 1 ( ))( 0, 1)a φ φ 2 且 和 y x x= + −log ( ( ) 1 ( ))a φ φ 2 ( 0,a > 且a ≠ 1) 都是奇函数。 【例 2】（2015 · 理数全国Ⅰ卷 ) 若函数 f x x x a x( ) ln( )= + + 2 为偶函数，则 a = 。 【解析】由题知 y x a x= + +ln( )2 为奇函数，所以 ln( ) ln( ) ln( ) ln 0x a x x a x a x x a+ + + − + + = + − = =2 2 2 2 。 解得 a =1 。 【变式 1】判断函数 f x x x a a( ) log ( sin 1 sin )( 0, 1)= + + > ≠a 2 且 的奇偶性。 【解析】函数 f x( ) 的定义域为 ( , )−∞ +∞ 。因为 f x x x x x( ) log [ sin ( ) 1 sin( )] log ( sin 1 sin )− = − + + − = + − = = = − + + = − log log log ( sin 1 sin ) ( ) a a a a ( sin 1 sin )( sin 1 sin ) 1 a 2 2 2 2 2 x x x x x x f x + − + + sin 1 sin sin 1 sin2 2x x x x+ + + + 所以， f x( ) 是奇函数。 【变式 2】若函数 f x x m x a a( ) log ( )( 0, 1)= + + > ≠a 2 且 是奇函数，则 m = 。 【解析】函数 f