策略 第三讲 三角最值 探解探变-数学变式的策略与实践

7 第一篇  数学变式之策略 第三讲  三角最值  探解探变 【例】 （2018 · 理数全国Ⅰ卷）已知函数 f x x x( ) 2sin sin 2= + ，则 f(x) 的最小值是 。 【解析】因为 f x x x x x x x f x( ) 2sin( ) sin( 2 ) 2sin sin 2 (2sin sin 2 ) ( )− = − + − = − − = − + = − ， 所以， f x( ) 是奇函数。 又 f x f x( ) ( 2 )= + π ，所以 f x( ) 的周期为 2π，因此只需研究 f x( ) 在 ( , ]−π π 上的函数最值的 情况。 【解法 1】（导数法） f x x x x x x x′( ) 2cos 2cos 2 2(2cos cos 1) 2(2cos 1)(cos 1)= + = + − = − +2 ， 令 f x′( ) 0= ，则 f x( ) 在 ( , ]−π π 上的极值点为 x = − ππ π 3 3 , , 。 因为 f f( ) ( )− = − = −π π 3 3 2 3 3 ， f ( ) 0π = ，所以 f x( )min = − 3 3 2 。 【解法 2】（均值不等式法 1） f x x x x x x x x( ) 2sin sin 2 2sin 2sin cos 2sin (1 cos )= + = + = + ， 考虑到 f x( ) 为奇函数，可以求 f x( ) 最大值，将 f x( ) 平方得 f x x x x x x x2 2 2 3 3( ) = + = − + = − +4sin (1 cos ) 4(1 cos )(1 cos ) (3 3cos )(1 cos )4 3 　　 = − + + +4 3 (3 3cos )(1 cos )(1 cos )(1 cos )x x x x 　　 ≤ = × =4 (3 3cos ) (1 cos ) (1 cos ) (1 cos ) 4 6 27 3 4 3 4 4 [ ] ( )− + + + + + +x x x x 4 4 ， 当且仅当 3 3cos 1 cos− = +x x ，即 cos x = 1 2 时， f x2 ( ) 取最大值，所以 f x( )min = − 3 3 2 。 【解法 3】（均值不等式法 2） f x x x x x x x x x( ) 2sin sin 2 2sin 2sin cos 2sin (1 cos ) 4sin cos= + = + = + = ⋅ 2 2 x = ⋅8sin cos 2 2 x x3 ， 8 数学变式的策略与实践 考虑到 f x( ) 为奇函数，可以求 f x( ) 最大值，将 f x( ) 平方得 f x2 2 6 2 2 2 2( ) 64sin cos (3sin )(cos )(cos ) cos ) ≤ = × = = ⋅ = 64 64 3 27 3 4 3 4 4 ( ) ( ) 3sin cos cos cos 2 2 3 2 2 2 2 x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x + + + 64 4 4 （ ， 当且仅当 3sin cos2 2 2 2 x x = ，即 tan2 2 3 x = 1 时， f x2 ( ) 取最大值，所以 f x( )min = − 3 3 2 。 【点评】解法 1 利用导数法求解，这种解法最容易理解，也最容易想到。通过求导，判断 函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到相应的三角函数值，代回原函数即可求得最小 值。解法 2、解法 3 只是变形的思路稍有不同，其本质都是将函数式通过配凑、变形来构造四 元均值不等式求解，存在一定的难度。多元均值不等式 ( 选考内容 ) 在平时做题中很少涉及， 且构造技巧强，所以不易联想到。均值不等式是解决最值问题的常用工具，所以同学们需要训 练一些这方面的构造技巧。 【变式 1】(2016 · 文数全国Ⅱ卷 ) 函数 f x x x( ) cos 2 6cos( )= + −π 2 的最大值为（ ）。 A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】因为 f x x x x( ) 1 2sin 6sin 2(sin )= − + = − − +2 23 11 2 2 ，而 sin [ 1,1]x∈ − ，所以当 sin 1x = 时，取得最大值 5 ，故选 B。 【变式 2】函数 f x x x( ) 2cos cos 2= + 的最小值是 。 【 解 析 】 因 为 f x x x x( ) 2cos 2cos 1 2(cos )= + − = + −2 21