策略 第六讲 抛物线题 探析推广-数学变式的策略与实践

19 第一篇  数学变式之策略 第六讲  抛物线题  探析推广  【例】(2017 · 全国Ⅰ卷 ) 已知 F 为抛物线 C ： y x2 = 4 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直 线 l1 、 l2 ，直线 l1 与 C 交于 A 、 B 两点，直线 l2 与 C 交于 D 、 E 两点， AB DE+ 的最小值为 ( )。 A.16 B.14 C.12 D.10 【解法 1】由题意易知直线 l1 、 l2 的斜率都存在且不为 0。 设直线 l1 的方程为 y k x= −( 1) ( 不妨设 k > 0 )，则由    y k x y x2 = − = 4 ( 1) ，得 k x k x k2 2 2 2− + − =(2 4) 0 。 其判别式 △ = − + − ⋅ − = + >[ (2 4)] 4 ( ) 16(1 ) 0k k k k2 2 2 2 2 。 设 A x y( )1 1， ， B x y( )2 2， ，则 x x1 2+ = 2 4k k 2 2 + 。 所以，由抛物线的定义得 AB x x p= + + = + = +1 2 2 4 4k k k 2 2 2 + 2 4 。 设直线 l2 的方程为 y x= − − 1 k ( 1) ，则由     y x y x2 = − − = 4 1 k ( 1) ，得 x k x2 2− + + =(2 4 ) 1 0 。 设 D x y( )3 3， ， E x y( )4 4， ，则 x x k3 4+ = +2 4 2 ， 所以 DE x x p k k= + + = + + = +3 4 2 4 2 4 4 2 2 ， AB DE k k+ = + + ≥ ⋅ + = k k 4 4 2 24 8 2 4 8 16 2 2 。 当且仅当 k 4 2 = 4k 2 ，即 k =1 时，取“=”，故 | | | |AB DE+ 取得最小值 16，故选 A。 【点评】本解法取直线的斜率 k 为参数，设出直线方程并与抛物线方程联立，运用“设而 不求”、抛物线定义和均值不等式求解。“设而不求”是数学解题中的一种颇为有用的手段，往 往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、简捷的解题效果。 【解法 2】如下图所示，设 AB 倾斜角为 θ，作 AK1 垂直于准线， AK2 垂直于 x 轴。 20 数学变式的策略与实践 A E D G O B F K1 K2 y xθ 易知        GP P AF GF AK AK AF1 ⋅ + = = − − = cos = P P 2 2 θ       （抛物线特性） 1 （几何关系） ，所以 AF P AF⋅ + =cosθ 。 AF = 1 cos− P θ ， | |BF = = 1 cos( ) 1 cos− + + p p θ π θ ， 所以 AB AF BF= + = + = 1 cos 1 cos− + p p θ θ 1 cos sin− p p 2 2θ θ = 。 因 为 p = 2 ， 所 以 AB = sin 4 2 θ ， AF = = 1 cos 1 cos− − p θ θ 2 同 理 BF = 1 cos( )− + 2 θ π = 1 cos+ 2 θ 。 AB AF BF= + = + = 1 cos 1 cos− + 2 2 θ θ 1 cos sin− 4 4 2 2θ θ = 。 又 DE 与 AB 垂直，即 DE 的倾斜角为 π 2 +θ，所以 DE = = sin ( )2 4 4 π 2 +θ cos 2 θ 。 = ≥ AB DE sin 2 16 + = + = = = 2 θ 16 sin cos sin cos sin cos 。 4 4 4(sin cos ) 4 4 2 2 2 2 2 2θ θ θ θ θ θ 2 2θ θ+ 1 4 sin 22 θ 当且仅当 θ = π 4 时，取“=”，故 | | | |AB DE+ 的最小值为 16 ，故选 A。 【点评】本解法取直线的倾斜角 θ 为参数，运用抛物线的定义、几何关系转化为角 θ 的正 弦函数求解。 21 第一篇  数学变式之策略 【解法 3】以抛物线 C 的焦点为极点，焦点到准线的垂线的反向延长线为极轴，建立极坐 标系，则抛物线 C 的极坐标方程为 ρ = 1 cos− 2 θ 。 所以 AF BF= = = 1 cos 1 cos( ) 1 cos− − + π + 2 2 2 θ θ θ ， ， 故 AB = sin 4 2 θ 。以下同解法 2。 【点评】一般地，求圆锥曲线的焦点弦或与焦点弦有关的最值问题利用