策略 第七讲 立几两题 撞脸探变-数学变式的策略与实践

24 数学变式的策略与实践 第七讲  立几两题  撞脸探变 【例 1】（2018· 天津卷）已知正方体 ABCD A B C D− 1 1 1 1 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方 体其余各面的中心分别为点 E、F、G、H、M（图 1），则四棱锥 M EFGH− 的体积为 。 D1 A1 A B CD E H G M F C1 B1 图 1 【例 2】（2018 · 江苏卷）如下图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多 面体的体积为 。 图 2 【解析】例 2 只是将例 1 扩展了一下，在原四棱锥的基础上，“倒补”上了一个底面重合的 “全等”的四棱锥，其本质为一题。 例 1 ：因为四棱锥 M EFGH− 的各个顶点是正方体各面的中心，所以四棱锥 M EFGH− 是 正四棱锥，所以底面正方形 EFGH 的边长为 ( ) ( )1 1 2 2 2 2+ = 2 2 ，底面积为 ( ) 2 2 2 12 = ，四棱锥 M EFGH− 的高 h = 1 2 。故四棱锥 M EFGH− 的体积为体积 V = × × =1 1 1 1 3 2 2 12 。 例 2 ：两个四棱锥重合的底面边长为 1 1 22 2+ = ，底面积为 ( 2) 22 = 。 又一个四棱锥的高为 1，故所求多面体的体积为 1 4 3 3 × × × =2 1 2 。 25 第一篇  数学变式之策略 【点评】这两道高考题文字表述流畅、图形优美，通过研究多面体“接”的组合关系，意 在考查学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养，较好地反映了立体几何 问题的数学本质。 【 变 式 1】 已 知 正 方 体 ABCD A B C D− 1 1 1 1 的 棱 长 为 1， 除 面 ABCD 外， 该 正 方 体 其 余 各 面 的 中 心 分 别 为 点 E、F、G、H、M( 图 1)， 则 四 棱 锥 M EFGH− 的 表 面 积 为 。 【解析】由例 1 的解析可知，四棱锥 M EFGH− 的底面边长为 2 2 ，高为 1 2 ，所以斜高（侧 面三角形的高）为 ( ) ( )1 2 6 2 4 4 2 2+ = ，所以侧面积为 1 2 6 3 2 2 4 2 × × × =4 。 又底面积为 1 2 ，故四棱锥 M EFGH− 的表面积为 3 1 2 + 。 【变式 2】如图 2 所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积 为 。 【 解 析 】 一 个 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为 2 ， 高 为 1， 所 以 斜 高（ 侧 面 三 角 形 的 高 ） 为 1 ( )2 2+ = 2 2 2 6 ，所以一个四棱锥的侧面积为 1 6 2 2 × × × =2 4 2 3 。 故所求的多面体的表面积为 2 3 2 4 3× = 。 【变式 3】已知正方体 ABCD A B C D− 1 1 1 1 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的 中心分别为点 E、F、G、H、M（图 1），则四棱锥 M EFGH− 外接球的体积为 。 【变式 4】已知正方体 ABCD A B C D− 1 1 1 1 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面 的中心分别为点 E、F、G、H、M ( 图 1)，则四棱锥 M EFGH− 外接球的表面积为 。 【变式 5】如图 2 所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的外接球的 体积为 。 【变式 6】如图 2 所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的外接球的 表面积为 。 【解析】求外接球的体积或表面积的关键是求出外接球的半径，而无论是图 1 的四棱锥还 是图 2 的多面体，其外接球的直径都是所在正方体的棱长，所以外接球的半径分别是 1 2 、1 ， 故利用球的体积和表面积公式分别求出外接球的体积与表面积即可。 _Hlk23486006 _GoBack MTBlankEqn _Hlk531934746 _Hlk531934996 MTBlankEqn MTBlankEqn _GoBack _Hlk23488408 MTBlankEqn _GoBack MTBlankEqn _GoBack MTBlankEqn _Hlk532059947 _GoBack _GoBack _Hlk532192698 _Hlk23504858 MTBlankEqn _GoBack _Hlk535389900 MTBlankEqn _Hlk23508902 _GoBack MTBlankEqn _Hlk535391724 第一篇 数学变式之策略 第一讲