策略 第八讲 数字计数 考题变式-数学变式的策略与实践

26 数学变式的策略与实践 第八讲  数字计数  考题变式 【例】（2017 · 天津卷）用数 字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复的数字，且至多 有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个（用数字作答）。 【解析】分两类：①四位数字全是奇数，则有 A 5 4 3 2 1 1205 4 = × × × × = 个；②四位数字有一 个偶数，则有 C C A 4 4 3 2 1 9601 3 44 5 4 = × × × × × = 5 4 3 3 2 1 × × × × 个。 故这样的四位数一共有 120 960+ = 1 080 个。 【点评】本题是直接分类求解的，考查了排列、组合数公式的应用。直接运用分类加法计 数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法 必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”间的独立性与并列性，用其中的任何一类 都可以完成这件事。 【变式 1】用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 能组成多少个： （1）没有重复数字的四位偶数； （2）没有重复数字的四位奇数。 【解析】（1）没有重复数字的四位偶数的个位是 2、4、6、8，所以有 A A1 34 8 = 1 344 个。 故符合题意的四位偶数共有 1 344 个。 （2）没有重复数字的四位奇数的个位是 1、3、5、7、9，所以有 A A1 35 8 = 1 680 个。 故符合题意的四位奇数共有 1 680 个。 【点评】偶数是指个位为偶数字 (0，2，4，6，8) 的数，奇数是指个位为奇数字 (1，3，5，7， 9) 的数。 【变式 2】用数 字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 能组成多少个： （1）是 5 的倍数且没有重复数字的四位数； （2）被 9 整除且没有重复数字的四位数； （3）被 25 整除且没有重复数字的四位数； （4）被 125 整除且没有重复数字的四位数。 【解析】（1）这里是 5 的倍数的四位数个位只能是 5，有 A 3368 3 = 个。 故符合题意的共有 336 个四位数。 27 第一篇  数学变式之策略 （2）能被 9 整除的整数其各位数字的和能被 9 整除，所以有 1、2、6、9，1、3、5、9，2、 3、4、9，共有 3A 7244 = 个四位数。 （3）能被 25 整除的整数其末两位数能被 25 整除，末两位数有 25 和 75，共有 2A 847 2 = 个 四位数。 （4）能被 125 整除的整数其末三位能被 125 整除，末三位数有 125、375、625、875，共 有 4A 2416 = 个四位数。 【点评】倍数及被整除等数字问题是一类重要题型。对于这类问题，学生掌握以下一些结 论是应用的关键。 （1）被 3 整除 ( 或 3 的倍数 ) 的整数的特征：各位数字的和能被 3 整除。 （2）被 4 整除 ( 或 4 的倍数 ) 的整数的特征：末两位数能被 4 整除。 （3）被 5 整除 ( 或 5 的倍数 ) 的整数的特征：个位数字是 0 或 5。 （4）被 8 整除 ( 或 8 的倍数 ) 的整数的特征：末三位数能被 8 整除。 （5）被 9 整除 ( 或 9 的倍数 ) 的整数的特征：各位数字的和能被 9 整除。 （6）被 11 整除 ( 或 11 的倍数 ) 的整数的特征：奇位数字的和与偶位数字的和之差能被 11 整除； （7）被 25 整除 ( 或 25 的倍数 ) 的整数的特征：末两位数能被 25 整除。 （8）被 125 整除 ( 或 125 的倍数 ) 的整数的特征：末三位数能被 125 整除。 【变式 3】用数 字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字且比 8 000 大的四位数， 这样的四位数一共有 个（用数字作答）。 【解析】分两类：①千位数字是 8，则有 A 8 7 6 3368 3 = × × = 个四位数；②千位数字是 9，则 有 A 8 7 6 3368 3 = × × = 个四位数。 故这样的四位数一共有 336 336 672+ = 个。 【点评】有大小要求的数字问题要注意首位数字的选择情况。 【变式 4】从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取 4 个数字组成无重复数字的四位数，其 中若有 1 和 3 时，3 必须排在 1 的前面，若只有 1 和 3 其中一个时，它们应排在其他数字的前面， 这样不同的四位数共有 个（用数字作答）。 【 解 析 】 分 三 种 情 形： ① 没 有 1 和 3， 共 A 8407 4 = 个 四 位 数； ② 只 有 1 和 3 其 中 一 个 时，有 2A 42037 = 个四位数；③ 1 和 3 均有时，“3 在