实践 第二讲 函数与导数-数学变式的策略与实践

44 数学变式的策略与实践 第二讲  函数与导数 【例 1】函数 y = x x +1 的定义域为 。 【解析】要使函数有意义，则    x x + ≥ ≠ 1 0 0 ，解得 x x≥− ≠1 0，且 。 所以函数 y = x x +1 的定义域为 { | 1 0}x x x≥− ≠，且 。 【点评】函数的定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围。求函数的定义域时， 列出使函数解析式有意义的不等式 ( 组 )，然后再解之，最后写成集合 ( 或区间 ) 的形式。其基 本的书写格式是“要使函数有意义，则必须满足……故所求函数的定义域是……”。 课本原型（人教版 A 版必修 1 第 24 页第 1 题）：求函数 f x( ) = x 4 − − 1 x 的定义域。 【解析】要使函数有意义，则    4 0 x − ≥ − ≠1 0 x ，解得 x x≤ ≠4 1，且 。 所以函数 f x( ) = x 4 − − 1 x 的定义域为 { | 4 1}x x x≤ ≠，且 。 【点评】上述高考题与该题如出一辙，体现了高考“源于课本”的命题思想。两题中的函 数涉及的都是分式和二次根式，函数的定义域是使分母不等于零的自变量的集合与被开方数非 负的自变量的集合的交集。 【变式 1】求函数 f x x( ) 4= − + x 1 −1 的定义域。 【点评】这一变式的求解过程与原题一致，其形式就是课本第 17 页例 1 的翻版。 【变式 2】求函数 f x x x( ) 4 ( 1)= − + − 0 的定义域。 【点评】该变式涉及零指数幂，其底数是不能为 0 的，所以求解过程也与原题一致。 【变式 3】求函数 f x( ) = + 4 1 1 − x x −1 的定义域。 【解析】要使函数有意义，则    4 0 x − > − ≠1 0 x ，解得 x x< ≠4 1，且 。 45 第二篇  数学变式之实践 所以函数 f x( ) = + 4 1 1 − x x −1 的定义域为 { ，且 }x x x| 4 1< ≠ 。 【点评】由于该变式的函数中二次根式出现在分母中，所以要注意求解时与变式 1 的差异。 【变式 4】已知函数 f x( ) = x 4 − − 1 x ，求函数 y f x= +( 2) 的定义域。 【解析】我们知道， f x( ) 的定义域是自变量 x 的取值范围，而 f x( 2)+ 中的 x 与 f x( ) 中的 x 不是同一个值，当 x + 2 作为一个整体时，如令 t x= + 2 ，则 f x( 2)+ 变为 f t( ) ，则 t 的取值范围 就是 f x( ) 中的 x 的取值范围。 由原题知，函数 f x( ) = x 4 − − 1 x 的定义域为 { ，且 }x x x| 4 1≤ ≠ 。 所以要使函数 y f x= +( 2) 有意义，则   x x + ≤ + ≠ 2 4 2 1 ，解得 x x≤ ≠ −2 1，且 。 所以函数 y f x= +( 2) 的定义域为 { ，且 }x x x| 2 1≤ ≠ − 。 【点评】本题是“已知 f x( ) 的定义域，求复合函数 f g x[ ( )] 的定义域”的问题。这类题的一 般解法是若 f x( ) 的定义域为 D，则 f g x[ ( )] 的定义域是使 g x D( )∈ 有意义的 x 的集合。 【变式 5】已知函数 f x( 2)+ = x 4 − − 1 x ，求函数 y f x= ( ) 的定义域。 【解析】若令 u x= + 2 ，则 f x( 2)+ 变为 f u( ) ，求 y f x= ( ) 的定义域也就是求 f u( ) 中 u 的取 值范围。 易求得 f x( 2)+ = x 4 − − 1 x 的定义域为 { ，且 }x x x| 4 1≤ ≠ 。 所以 x x+ ≤ + ≠2 6 2 3， 。 所以函数 y f x= ( ) 的定义域为 { ，且 }x x x| 6 3≤ ≠ 。 【点评】本题是“已知复合函数 f g x[ ( )] 的定义域，求 f x( ) 的定义域”问题。这类题的一般 解法是若 f g x[ ( )] 的定义域为 D，则 g x( ) 在 D 上的取值范围即 f x( ) 的定义域。 【感悟】求函数的定义域，应遵循以下原则：①如果 f（x）是整式，那么函数的定义域 是实数集 R ；②如果 f（x）是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； ③如果 f（x）为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合； ④零指数幂的底数不能为零；⑤若 f（x）是由几部分数学式构成的，则函数的定义域是使各部 46 数学变式的策略与实践