实践 第四讲 平面向量与复数-数学变式的策略与实践

79 第二篇  数学变式之实践 第四讲  平面向量与复数 【 例 1】 已 知 向 量 a =(2，-1)， b  =(-1，m)， c =(-1，2)， 若 ( a + b  ）// c， 则 m= 。 【解析】由已知得 a + b  =(1，m-1)， c =(-1，2)。 由 ( a + b  )// c，得 1×2-(m-1)×(-1)=m+1=0，解得 m=-1。 【点评】本题主要考查了向量平行的条件与向量的坐标运算。把握平行的条件构建方程求 解，体现了方程思想的应用。 课本原型（人教版 A 版必修 4 第 101 页第 5 题）：当 x 为何值时， a =(2，3) 与 b  =(x，- 6) 共线？ 【解析】由 a =(2，3) 与 b  =(x，-6) 共线，得 2×(-6)-3x=0，解得 x=-4。 【点评】求解向量共线问题的基础：利用“若向量 a =(x1，y1), b  =(x2，y2), 则 a  // b  ⇔ x1y2-x2y1=0”来建立关系式。 【变式 1】已知向量 a =(2，3)， b  =(x，-6)，且 a // b  ，则 2 a +3 b  =（ ）。 A.(8，12) B.(-8，12) C.(8，-12) D.(-8，-12) 【解析】由课本题的解析可知 x=-4，所以 b  =(-4，-6)。 所以 2 a +3 b  =2×(2，3)+3×(-4，-6)=(-8，-12)，故选 D。 【变式 2】已知 a =(2，3)， b  =(x，-6)，且 ( a +2 b  )//(2 a - b  )，则 x 的值为（ ）。 A.4 B.-4 C.6 D.-6 【解析】 a +2 b  =(2+2x，-9)，2 a - b  =(4-x，12)，则 (2+2x)×12-(-9)×(4-x)=0，即 15x=-60，解得 x=-4，故选 B。 【变式 3】过原点 O 的直线与函数 y=log8x 的图像交于 A、B 两点，过 A、B 分别作 x 轴的 垂线交函数 y=log2x 的图像于 C、D 两点。求证：O、C、D 三点在一条直线上。 【解析】将三点共线的证明转化为论证向量共线关系式。 【证明】设 A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，则 OA  =(x1，log8x1)， OB  =(x2，log8x2)，根据已 知 OA  与 OB  共线，得 x1log8x2-x2log8x1=0。 又根据题设条件可知 C(x1，log2x2)，D(x2，log2x2)， 80 数学变式的策略与实践 所以 OC  =(x1，log2x1)， OD  =(x2，log2x2)。 因为 x1log2x2-x2log2x1=x2log8x2 3-x1log8x1 3=3(x1log8x2-x2log8x1)=0，所以 OC  与 OD  共线，即 O、C、D 三点在一条直线上。 【点评】本题将三点共线的证明转化为论证向量共线关系式。通过构设点的坐标，改用向 量的坐标运算来论证，十分简捷、新颖、巧妙。 【变式 4】已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5) 及 OP  = OA  +t  AB ，试问：四边形 OABP 是否能成为平行四边形，若能，则求出 t 的值；若不能，说明理由。 【解析】利用向量相等的坐标表示得到对应的坐标相等，用 t 表示出 P 点的坐标，然后根 据 P 所在的位置确定 t 的范围。 当四边形 OABP 为平行四边形时，则有 OP  =  AB ，即  3 2 3 3 1 3 = + = + t t ，所以      t t = = 1 2 3 3 ，矛盾。 所以不存在 t 使四边形 OABP 为平行四边形。 【点评】由点所在的位置确定相应的坐标满足的条件，将形的问题转化成数的问题来解决， 这是向量坐标表示数形结合的功能。 【 变 式 5】 设 向 量 m =(a，b)， n =(c，d)， 规 定 向 量 m ， n 之 间 的 一 个 运 算“※”： m ※ n =(ac-bd，ad+bc)。已知向量 a =(0，1)， b  =(2，1)， c =(3，2)，t ∈ R，求当 t 为何值时， a ※t b  与 a +t c共线。 【解析】由于 t b  =t(2，1)=(2t，t)， t c =t(3，2)=(3t，2t)，根据定义，有 a ※t b  =(0，1)※ (2t