实践 第五讲 数列与不等式-数学变式的策略与实践

95 第二篇  数学变式之实践 第五讲  数列与不等式 【例 1】（人教版 A 版必修 5 第 34 页第 6 题）分别写出三角形数构成的数列的第 5 项、第 6 项和第 7 项，并写出它的一个递推公式。 【解析】三角形数构成的数列为 1，3，6，10，…（见人教版 A 版必须 5 课本第 32 页）， 所以第 5 项、第 6 项和第 7 项分别为 15，21，28。 由数列知 a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，…， 所以该数列的一个递推公式为 an=    1 1 a n n ， n−1 n + ≥ = ， 2 。 【点评】本题是给出数列的前几项，写出递推公式的题目，发现数列前后两项的数量关系 及规律是求解的关键。 【变式 1】分别写出正方形数构成的数列的第 5 项、第 6 项和第 7 项，并写出它的一个递 推公式。 【解析】正方形数构成的数列为 1，4，9，16，…，所以第 5 项、第 6 项和第 7 项分别为 25，36，49。 由数列知 a2-a1=3=2×2-1，a3-a2=2×3-1，a4-a3=2×4-1，…，所以该数列的一个递推 公式为 an=   a n nn−1 + − ≥ 1 1 2 1 2 ，n = ， 。 即同样该数列的一个递推公式为 an+1=an+2n+1。 【点评】递推公式法是表示数列的重要方法。已知数列 {an} 的第 1 项（或前几项）是构成 数列的基础，任一项 an 与它的前一项 an-1（或前几项）间的关系是数列形成的核心和依据。 【变式 2】写出正方形数构成的数列的一个通项公式。 【解析】观察、分析正方形数构成的数列，知 1=12，4=22，9=32，16=42，…，则数列的 每一项都是平方的形式，且底数与序号相同，由此得到数列的一个通项公式为 an=n 2。 【点评】通过观察数列的项与序号的对应关系求通项是一种基本方法，需在分析外形结构 特点与数字特征的基础上，重点寻找项 an 与 n 之间的对应关系。 【变式 3】写出三角形数构成的数列的一个通项公式。 【解析】此数列可化为 1= 2 2 = 1 2× 2 ，3= 6 2 = 2 3× 2 ，6= 12 2 = 3 4× 2 ，10= 20 2 = 4 5× 2 ，…， 96 数学变式的策略与实践 这样每项的分母都是 2，分子是两个连续正整数的乘积，其中前一个与序号相同。 所以该数列的一个通项公式为 an= n n( 1) 2 + 。 【点评】先变形数列项的结构，再进行分解变形，从而使数列的构成规律“隐”化为 “显”。变形结构和分解求通项是探究数列通项规律的有效途径。 【变式 4】已知数列 {an} 满足 a1=1，an=an-1+2020，求数列 {an} 的通项公式。 【解析】由已知得 a1=1，an-an-1=2020， 所以 a2-a1=2020，a3-a2=2020，a4-a3=2020，…，an-an-1=2020。 上面 n-1 个式子相加，得 an-a1=(n-1)×2020=2020n-2020，所以 an=2020n-2019。 【 点 评 】 由 于 该 变 式 中 的 递 推 公 式 an=an-1+2020 给 出 了 数 列 {an} 连 续 两 项 的 差 an- an-1=2020，故通过“累加”求出通项公式。这种方法称为“累加法”。运用“累加法”求通项 公式，就是将递推公式变形为 an+1-an=c（c 为常数），令 n=1，2，3，…，n-1，再将这 n-1 个式子相加得 an-a1 的表达式，从而求得数列 {an} 的通项公式。其实，“累加法”还适用于更 一般的形式：a1=f (1)，an-an-1=f (n) (n ≥ 2)，其中 f (1)+f (2)+…+f (n) 是可求的，以 n=2，3，…， n-1，n 代入关系式，得到 n-1 个等式，将此 n-1 个式子相加而求出 an。 【变式 5】已知数列 {an} 满足 a1=1，an=2020an-1（n ≥ 2），求数列 {an} 的通项公式。 【解析】由已知得 a1=1， a a n n −1 =2020。 所以 a a1 2 =2020， a a3 2 =2020， a a 4 3 =2020，…， a a n n −1 =2020。 上面 n-1 个式子相乘，得 a a1 n =2020n-1，所以 an=2020 n-1。 【点评】本变式运用的方法是“累乘法”。运用“累乘法”求通项公式，就是将递推公式 变形为 a a n n −1 =c(c 为常数 ) 或 a a n n −1 =f (n)(n ≥ 2)，令 n=2，3，…，n-1，n，再将这 n-1 个式子 相乘得 a a1 n 的表达式，从而求