实践 第七讲 立体几何-数学变式的策略与实践

140 数学变式的策略与实践 第七讲  立体几何 【例 1】如下图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球 放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚 度，则球的体积为（ ）。 A. 500π 3 cm3 B. 866π 3 cm3 C. 1372π 3 cm3 D. 2 048π 3 cm3 【解析】设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截面圆的距 离为 R-2，则 R R2 2 2= − +( 2) 4 ，解得 R=5，所以球的体积为 4π 5 3 × 3 = 500π 3 cm3，故选 A。 【点评】本题以球与正方体的组合为背景，在考查球的截面圆性质、球的体积公式的同时， 考查了学生直观想象的数学素养、空间想象能力、分析解决问题的能力以及对体积公式的掌握 情况，是一道能凸显立体几何的数学本质的优质试题。 【变式 1】（人教 A 版必修 2 第 37 页第 2 题）如下图所示，一个长、宽、高分别是 80 cm、 60 cm、55 cm 的水槽中有水 200 000 cm3。现放入一个直径为 50 cm 的木球，如果木球的三分 之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？ 【解析】水槽的容积 V=80×60×55=264 000 cm3， 141 第二篇  数学变式之实践 木球的体积 V木 = π× ≈ 4 3 25 65 417 cm3 3 ， 所以200 000+6 5417 243 611× ≈ <2 3 V ， 所以水不会从水槽中流出。 【变式 2】一个直径为 32 cm 的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升 高 9cm 则此球的半径为 cm。 【解析】 V Sh r h R R= = π = π = × =2 34 3 ， 3 64 27 12 ，即此球的半径为 12 cm。 【变式 3】如下图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋 全部融化（假设从杯底开始融化），会溢出杯子吗？ 4 cm 12 cm 【解析】由图知，半球半径 R=4 cm，杯子高 h=12 cm。 V 半球 = 1 2 × 4 3 π · 43≈134 cm3，V 圆锥 = 1 3 πR2h= 1 3 π×42×12≈201 cm3。 因为 V 圆锥 >V 半球 ，所以冰淇淋融化了不会溢出杯子。 【变式 4】半径为 1 的球 O 与棱长为 4 的正方体 ABCD A B C D− 1 1 1 1 的上表面 ABCD 相切，切 点为正方形 ABCD 的中心，则四棱锥 O A B C D− 1 1 1 1 的外接球的半径为（ ）。 A． 10 3 B． 10 33 C．2 D． 23 6 【解析】设棱锥 O A B C D− 1 1 1 1 的外接球的球心为 E，其 半径为 x，底面正方形的中心为点 F，如下图所示。 A B F E C DA B D O 1 1 1 1 142 数学变式的策略与实践 依题意知， EB B F EF1 1 2 2 2= + ，所以 x2 2= +(2 2) (4 1 )+ − x 2 ，所以 x = 10 33 ，故选 B。 【感悟】球与几何体的切、接问题是一类重点题型，是历年高考考查的重点。解决这类问 题时要认真分析图形，首先要明确切与接的位置在哪儿，准确定位；其次确定有关元素间的数 量关系。为此往往要过球心及几何体中的特殊点或线，作出一个截面图，在这个截面图中应包 括每个几何体的主要元素，且这个截面能反映出各主要元素之间的主要位置关系和数量关系。 通过截面图，将空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系从 而解决问题。 【例 2】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视 图中的正视图和俯视图如下图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20π，则 r=（ ）。 A.1 B.2 C.4 D.8 r r 2 r2 r 俯视图 正视图 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球 的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为 1 2 × π + π × + π + ×4 2 2 2r r r r r r2 2 = 5 4π r r2 2+ =16 + 20 π，解得 r=2，故选 B。 【点评】本题考查了通过三视图复原对应的几何体，并求该几何体的体积的方法，考查了 同学们的空间想象能力及空间模型的构建能力。 【变式 1】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该 几何体的体积为 m3。 4 44 2 2 2 正视图 俯视图