专项训练1 利用矩形的性质巧解折叠问题-2020-2021学年九年级数学全册考点专项训练及单元检测（北师大版）

专项训练1　利用矩形的性质巧解折叠问题 方法指导：折叠问题往往通过图形的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等；在计算时，常常通过设未知数列方程求解． 技巧1： 1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角： (1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E； (2)将纸片展平后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数． (第1题) 技巧2： 利用矩形的性质巧求折叠中线段的长 2．图①为长方形纸片ABCD，AD＝26，AB＝22，直线L，M皆为长方形的对称轴．今将长方形纸片沿着L对折后，再沿着M对折，并将对折后的纸片左上角剪下直角三角形，形成一个五边形EFGHI，如图②，最后将图②的五边形展开后形成一个八边形，如图③，且八边形的每一边长恰好均相等． (第2题) (1)若图②中的HI长度为x，请用x分别表示剪下的直角三角形的勾长和股长． (2)请求出图③中八边形的一边长的数值，并写出完整的解题过程． 技巧3： 利用矩形的性质巧证折叠中线段的关系 3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于F，连接AE. 求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD. (第3题) 技巧4： 利用矩形的性质巧求折叠中线段的比 4．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N. (1)求证：CM＝CN； (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为31，求的值． (第4题) 参考答案 1．解：设折叠后，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，如图，由折叠的性质得∠AEF＝∠A′EF，∠BEA＝∠AEB′， ∠B＝∠AB′E，BE＝B′E，AE＝EA′. ∵∠BAB′＝∠ABE＝90°， ∴∠BEB′＝90°. ∴∠BEA＝∠AEB′＝45°. 又∠BEA＋∠AEF＋∠FEA′＝180°， ∴∠FEA′＝67.5°. ∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEA′＝67.5°. (第1题) 2．解：(1)分别延长HI与FE，相交