专题15 相似三角形-2020年中考数学母题题源解密（上海专用）

专题15 相似三角形 母题揭秘中考四大考点： 1、利用相似三角形的比值求线段长度、角度、周长、面积问题； 2、其他几何性质结合相似三角形的判定与性质的求解问题，如何正确做好辅助线，构造平行、相似或相似所需要的条件； 3、相似三角形与圆的结合问题； 4、相似三角形与函数的结合问题。 【母题来源1】（2020·上海中考真题）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米． 【母题来源2】（2018·上海中考真题）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____． 考点一：相似图形中的比例问题 主要利用相似三角形的性质定理，相似三角形的对应线段比值等于相似比，周长比值对应相似比，面积比值对应相似比的平方。在求解三角形边长的过程中，通过相似求解对应高和底的比值即可解决相关三角形对应线段，对应周长，对应面积的比值求解问题。　 主要知识点概括： (一).比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2.比例性质： （1）基本性质： （2）合比定理： （3）等比定理： 3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点． 4．平行线分线段成比例定理 (二)相似 1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形. 2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等. 3.相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4. 相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等. （2）相似三角形的周长比等于相似比. （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线. 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7. 相似三角形的应用: 1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 2、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 【母题来源3】（2020·上海中考真题）如图，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3． （1）求梯形ABCD的面积； （2）联结BD，求∠DBC的正切值． 【母题来源4】（2020·上海中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证：△BEC∽△BCH； （2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF． 【母题来源5】（2019·上海中考真题）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE上AD，交BD的延长线于点E （1）求证：∠E＝∠C； （2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值； （3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值. 考点二：主要考查其他几何性质在相似三角形的中的综合应用，以及如何做好辅助线，构造相似或者相似三角形所需要的条件。 1、角平分线的性质，三角函数，相似三角形的性质； 2、直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质； 3、相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识； 4、正确作出辅助线，构造相似或者相似三角形所需要的条件。 【母题来源6】（2020·上海中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D． （1）求证：∠BAC=2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小； （3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长． 考点三:相似三角形与圆的结合 1、 圆周角定理，或者圆的切线性质， 2、 垂径定理，从而转化到等腰三角形，利用等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形； 3、 以此与圆相交的直线构成三