1.3.2球的表面积与体积-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修2）

专题1.3.2 球的表面积与体积 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·荆州市北门中学高一期末）体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A. 2．（2020·邯郸市永年区第二中学高一期中）若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得，设截面圆的半径为r，球的半径为R，因为截面圆的面积为，可得，解得，又由，所以，所以球的表面积为.故选：A. 3．（2020·广西北流市实验中学高一期中）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R， 在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积，故选A. 4．如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，设球的半径为，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为的圆内切与一个边长为4的等边三角形，此时正三角形的高线为，根据中心（重心）的性质可得，球的半径为， 所以球的体积为，即溢出溶液的体积为，故选D. 5．（2020·西藏城关拉萨中学高一期中）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 A．17π B．18π C．20π D．28π 【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示： 是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A． 6．（2020·辽宁沈阳高一期末）正四面体的棱长为4，则它的外接球的表面积为（ ） A．12π B．24π C．48π D．96π 【答案】B 【解析】如图正四面体棱长为4，平面于，则是中心，， 平面，平面，则，，设外接球球心为，则在，则为外接半径，由得，解得，∴． 7．（2020·河南高一月考）若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意得：，所以是等腰直角三角形，且为斜边，取的中点，连接. 因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，所以点即为球心，则该三棱锥的外接圆半径，故该三棱锥的外接球的表面积为． 8．（2020·西藏城关拉萨中学高一期中）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为． 9．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为边长为2的等边三角形，为正三棱锥， ，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ． 10．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出过正方体的对角面的截面，如图所示，设球的半径为，正方体的棱长为，那么，在直角中，由勾股定理，得,即，解得，所以半球的体积为，正方体的体积为，所以半球与正方体的体积比为，故选B. 11．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高一月考）在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，故，，，故棱锥外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球，设长方体的长宽高分别为，，，则，，，即，即长方体的外接球半径满足： ，故三棱锥外接球的表面