1.4 充分条件与必要条件-2020-2021学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）

1.4 充分条件与必要条件 考点1：命题及真假的判断 1．命题的定义与分类 （1）命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． （2）命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题． （3）分类 命题 【例1】　（1）下列语句为命题的是(　　) A．x2－1＝0　 B．2＋3＝8 C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树 （2）下列语句为命题的有________． ①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 019是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′. 【例2】　判断下列命题的真假，并说明理由． （1）正方形既是矩形又是菱形； （2）当x＝4时，2x＋1<0； （3）若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； 【方法技巧】 1. 判断一个语句是否是命题的两个关键点 （1）命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题. （2）对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题. 提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题. 2. 命题真假的判定方法 （1）真命题的判断方法 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证. （2）假命题的判断方法 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法. 【针对训练】 1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．[来源:学§科§网] （1）x2－3x＋2＝0； （2）垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？ （3）2030年6月1日上海会下雨． 2．下列命题： ①若xy＝1，则x，y互为倒数；②同一平面内四条边相等的四边形是正方形； ③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b. 其中真命题的序号是________． 考点2：命题的构成 1. 命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． 2. 确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 【例3】　（1）已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________． （2）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． ①已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2； ②当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0. 【方法技巧】 1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中． 2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论． [来源:Z&xx&k.Com] 【针对训练】 3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）当>时，a<b； （2）垂直于同一条直线的两个平面互相平行； （3）同弧所对的圆周角不相等． 考点:3：充分条件、必要条件、充要条件的判断 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充要条件 （1）一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． （2）若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． （3）若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． （4）若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 【例4】　指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． （1）在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； （2）对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； （3）p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； （4）p：a＜b，q：＜1. 【方法技巧】 充分条件与必要条件的判断方法 （1）定义法 （2）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． （3）逆否法：这是等价法的一种特殊情况． 若p⇒q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件； 若p⇒q，且q p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇔q，则p与q互为充要条件；[来源:学_科_网Z_X_X_K] 若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件． 【针对训练】 4．用“充分不