1.5 全称量词与存在量词-2020-2021学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）

1.5　全称量词与存在量词 考点1：全称(特称)命题的概念及真假判断 1．全称量词与全称命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)． 2．存在量词与特称命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“x0∈M，p(x0)”． 【例1】　指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假． （1）x∈N,2x＋1是奇数； （2）存在一个x0∈R，使＝0； （3）能被5整除的整数末位数是0； 【方法技巧】 1．判断命题是全称命题还是特称命题的方法 （1）分析命题中是否含有量词；[来源:学科网] （2）分析量词是全称量词还是存在量词； （3）若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法 （1）要判定全称命题“x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题． （2）要判定特称命题“x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题． [来源:学科网ZXXK] 【针对训练】 1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 2．判断正误 （1）全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”． (　　) （2）同一个特称命题的表达形式是唯一的． (　　) 考点2：含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定p：x0∈M，p(x0)； 特称命题p：x0∈M，p(x0)，它的否定p：x∈M，p(x)． 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题． 【例2】（1）命题“x∈R，x2≠x”的否定是(　　) A．xR，x2≠x B．x∈R，x2＝x C．xR，x2≠x D．x∈R，x2＝x （2）写出下列命题的否定，并判断其真假： ①p：x∈R，x2－x＋≥0； ②p：所有的正方形都是菱形； ③p：至少有一个实数x0，使x＋1＝0. 【方法技巧】 对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法 （1）确定类型：是特称命题还是全称命题. （2）改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词. （3）否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. 提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定. 【针对训练】 3．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是(　　) A．所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的数是偶数 D．存在一个能被2整除的数不是偶数 4．写出下列命题的否定，并判断其真假． （1）p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； （2）q: 存在一个实数x0，使得x＋x0＋1≤0； （3）r：等圆的面积相等，周长相等； 考点3：由全称(特称)命题的真假确定参数的范围[来源:Z,xx,k.Com] 【例3】 已知命题p：x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，命题q：x0∈R，ax－2ax0－3>0，若p假q真，求实数a的取值范围． 【方法技巧】[来源:学科网] 应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型 （1）全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决. （2）特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设. 考点过关 1. 将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题,下列说法正确的是(　　) A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy C.对任意x>0,y>0,都有x2+