2.1 等式性质与不等式性质-2020-2021学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式性质与不等式性质 考点1：用不等式表示不等关系 1．不等符号与不等关系的表示 （1）不等符号有＜，≤，＞，≥，≠； （2）不等关系用不等式来表示． 2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换 大于 大于等于 小于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 【例1】　用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． 【方法技巧】 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可． 3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： （1）审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、不少于等． （2）适当的设未知数表示变量． （3）用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 【针对训练】 1．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 考点2：比较两数(式)的大小 【例2】　已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小． 【方法技巧】 1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 （1）作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论． （2）变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论． 2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.[来源:学#科#网] 【针对训练】 2．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小． [来源:学+科+网Z+X+X+K] 考点3：不等式性质的应用 名称 式子表达 性质1(对称性) a>b⇔b<a 性质2(传递性) a>b，b>c⇒a>c 性质3(可加性) a>b⇒a＋c>b＋c 推论 a＋b>c⇒a>c－b 性质4(可乘性) a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc 性质5 (不等式同向可加性) a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 性质6 (不等式同向正数可乘性) a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 性质7(乘方性) a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) 性质8(开方性) a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) 【例3】　已知c>a>b>0，求证：>. 【变式分析】 1．(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>0”变为“a>b>0，c<0”证明：>. 2．(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>0”变为“已知－6<a<8，2<b<3”如何求出2a＋b，a－b及的取值范围． 【方法技巧】 1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 （1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 2．利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题 （1）恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质． （2）运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等． （3）准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误． 考点过关 一、选择题 1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a　 B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 2．设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝(　　) A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1} C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3} 3．已知a，b∈(0，1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定 4．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是(　　) A．a－c＜b－d B．ac＞bd C．＜ D．ad＞bc 5．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A．> B．< C．> D．< 二、填空题 6．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为________． 7．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x