2.2 基本不等式-2020-2021学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 考点1：利用基本不等式比较大小 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 2．基本不等式：≤ （1）基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； （2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 3．算术平均数与几何平均数 （1）设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为； （2）基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[来源:Zxxk.Com] 【例1】　已知0<a<1，0<b<1，则a＋b，2，a2＋b2，2ab中哪一个最大？ 【方法技巧】 （1）在使用基本不等式≤(a≥0，b≥0)时，要注意不等式的双向性． ①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤； ②从右到左：常使用a＋b≥2. （2）运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件． （3）特殊值法是解决不等式的一个有效方法， 但要使特殊值具有一般性． 【针对训练】[来源:学科网] 1. 下列不等式中，正确的个数是(　　) ①若a，b∈R，则≥；②若x∈R，则x2＋2＋≥2； ③若x∈R，则x2＋1＋≥2；④若a，b为正实数，则≥. A．0　　　　B．1 C．2 D．3 2．已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________．[来源:学科网] 考点2：利用基本不等式证明不等式 【例2】　已知a，b，c为不全相等的正实数． 求证：a＋b＋c>＋＋. 【方法技巧】 1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明． 2．利用基本不等式证明不等式的注意点 （1）多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； （2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； （3）对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【针对训练】 3．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证： 考点3：基本不等式的实际应用 【例3】　如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． （1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ [来源:学.科.网] 【变式练习】 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价． [来源:Zxxk.Com] 考点4：利用基本不等式求最值 1．用基本不等式求最值的结论 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最大值为． （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有最小值为2． 2．基本不等式求最值的条件 （1）x，y必须是正数． （2）求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值． （3）等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示]　三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． 【例4】　设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________． 【方法技巧】 1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题． 2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键． 【针对训练】 4．已知x>0，y>0，且＋＝1，试求x＋y的最小值． 考点过关 1．下列不等式中，正确的是(　　) A．a＋≥4　　　　　　 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 2．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab| 3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　) A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 4．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　) A．25 B. C.