1.1 集合的概念-2020-2021学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）

1.1 集合的概念 考点讲解 考点1：集合的基本概念 1. 元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2. 集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3. 集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4. 集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 【例1】　考察下列每组对象，能构成集合的是(　　) ① 中国各地最美的乡村；② 直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③ 不小于3的自然数； ④ 2020年广东高考． A．③④　　　　　　 B．②③④ C．②③ D．②④ 【方法技巧】 判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 【针对训练】 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）大于3小于5的所有自然数构成一个集合； （2）直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合； （3）方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素． 考点2：元素与集合的关系 1. 属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． 2. 不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA． 【例2】　（1）下列所给关系正确的个数是(　　) ①π∈R；②Q；③0∈N*；④|－5|N*. A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 （2）已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 【方法技巧】 判断元素与集合关系的2种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【针对训练】 2．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 考点3：集合中元素的特性及应用 【例3】　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． 变式分析 1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值． 【方法技巧】 1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准． 2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分． 提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形． 考点4：用列举法表示集合[来源:学科网] 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【例4】　用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 【方法技巧】用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}． 【针对训练】 3．用列举法表示下列集合： (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M； (3)方程组的解组成的集合B； (4)15的正约数组成的集合N. 考点5：用描述法表示集合 【例2】　用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的实数的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合； (3)被3除余数等于1的正整数组成的集合． 【方法技巧】描述法表示集合的2个步骤 【针对训练】 4.用描述法表示下列集合： (1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； (2)不等式2x－3<5的解组成的集合； (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合； (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合． 考点6：集合表示方法的综合应用 【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合． 变式分析 1．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”其他条件不变，求实数k的值组成的集合． 2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围． 【方法技巧】 1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的