课件12 2.2基本不等式（导学版）-【慕联】高中完全同步系列2019新人教版数学必修一（导学版）(共15张PPT)

人教版高中数学必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2-基本不等式 授课：张丹老师 [慕联教育同步课程导学篇] 课程编号：TS2005010302RB1020201ZD（A） 学习目标 了解基本不等式的证明过程； 1 1 2 2 能利用基本不等式证明简单的不等式. 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？ 下面就来研究这个问题． 导入 导入 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 当且仅当 时，等号成立 特别地，如果 我们用 分别代替上式中的 可得 当且仅当 时，等号成立 （1） 通常称不等式（1）为基本不等式．其中， 叫做正数 的算术平均数， 叫做正数 的几何平均数． 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了． 显然，⑤成立，当且仅当 时，等号成立 前面通过考察 的特殊情形获得了基本不等式． 能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式 呢？ 下面我们来分析一下． 要证 ① 要证②，只要证 ③ 只要证 ② 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 探究： 在下图中， 是圆的直径，点 是 上一点， 过点 作垂直于 的弦 ，连接 ，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 可证△ 相似于△ 则有 ， 则 ． 由于 小于或等于圆的半径，用不等式表示为 显然，当且仅当点 与圆心重合，即当 时，上述不等式的 等号成立. 例1 已知 求 的最小值 分析：求 的最小值，就是要求一个 ，使 都有 .观察 ，发现 .联系基本不等式，可以利用正数 和 的算术平均数与几何平均数的关系得到 解：因为 所以 因此所求的最小值为2. 当且仅当 即 时，等号成立， 拓展：这里2只是 的一个取值，试想一下当 时， 成立吗？这时候能说明 是 的最小值吗？ 证明：因为 都是正数，所以 所以，当且仅当 时，和 有最小值 . （2）当和 等于定值 时， 则有 当且仅当 时，上式等号成立， 所以,当且仅当 时，积 有最大值 例2 已知 都是正数，求证： （1）如果积 等于定值 ，那么当 时，和 有最小值 ； （2）如果和 等于定值 ，那么当 时，积 有最大值 . （1）当积 等于定值 时， （1）当积 等于定值 时， 所以，x+y≥2 当且仅当x=y时，上式等号成立， （2）“一正二定三相等” “一正”是指应用不等式时，两者必须皆为正； “二定”是指“和定积最大，积定和最小”； 关于基本不等式 需要注意： （1）可变形为 等； “三相等”是指当且仅当 时，等号成立； 这里的“ ”为泛指. 巩 固 练 习 （1） （2） 证明：（1）因为 则 当且仅当 时，上式等号成立. 因为 则等号不成立，所以 得证. （2）因为