专题15导数的应用（1）-研究函数的单调性-2021年高考数学（理）考点分析与突破性讲练之集合、函数与导数 (2份打包)

2021年高考数学（理）集合、函数与导函数突破性讲练 15 导数的应用（1）-研究函数的单调性 一、考点传真： 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)； 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次) 3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 4.会利用导数解决某些简单的实际问题. 二、知识的梳理： 1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. [微点提醒] 1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 三、例题： 例1.（2020年全国1卷理数）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围. 例2.（2019全国卷Ⅲ）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）是否存在实数，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由. 例3.(2018全国卷Ⅰ)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，证明：． 例4.(2018天津高考)已知函数，，其中． (1)求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明； (3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线． 例5.(2016年北京高考)设函数，曲线在点处的切线方程为， （I）求，的值； （II）求的单调区间. 四、巩固练习： 1. (2019·厦门质检)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－1,1)　　　　　　　　　 B．(0,1] C．(1，＋∞) D．(0,2) 2. 函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息： ①f′(x)>0时，－1<x<2； ②f′(x)<0时，x<－1或x>2； ③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2. 则函数f(x)的大致图象是(　　) 3. (2019·成都高三摸底测试)已知函数f(x)＝x3－ax在(－1，1)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，3] 4. 下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝sin 2x　　　　　 B．f(x)＝xex C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x 5. 函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－2] B. C．[－2,3] D. 6. 已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)<0，若a<b，则一定有(　　) A．af(a)<bf(b) B．af(b)<bf(a) C．af(a)>bf(b) D．af(b)>bf(a) 7. (2019·广州模拟)若函数f(x)＝ex(sin x＋acos x)在上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) 8定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)<x＋1的x的集