专题16导数的应用（2）-研究函数的极值与最值-2021年高考数学（理）考点分析与突破性讲练之集合、函数与导数

2021年高考数学（理）集合、函数与导函数突破性讲练 16 导数的应用（2）-研究函数的极值与最值 一、考点传真： 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)； 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次) 3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 4.会利用导数解决某些简单的实际问题. 二、知识的梳理： 1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. [微点提醒] 1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 三、例题： 例1.（2020年江苏卷）在平面直角坐标系中，已知，，是圆上的两个动点，满足，则的面积的最大值是 . 例2．（2020年天津卷）已知函数，为的导函数. （1）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （2）当时，求证：对任意的，且，有. 例3. （2019江苏高考）设函数、为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值； （3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤． 例4.(2018全国卷Ⅲ)已知函数． (1)若，证明：当时，；当时，； (2)若是的极大值点，求． 例5.(2018北京高考)设函数． (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求； (2)若在处取得极小值，求的取值范围． 四、巩固练习： 1.已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 2. 函数f(x)＝ex－e－x－2x，设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值． 3.已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数. (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值. 4. 已知函数（其中为自然对数的底，为常数）有一个极大值点和一个极小值点. （1）求实数的取值范围； （2）证明的极大值不小于. 5. 已知函数，证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点. 6.已知函数f(x)=2tln x-ln2x+,h(x)=e2x-2tex+2t2. (1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线x+2y-3=0垂直,求t的值; (2)讨论h(x)在R上的单调性; (3)∀t∈R,x>0,总有h(x)>f(x)成立,求正整数m的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 $$ 2021年高考数学（理）集合、函数与导函数突破性讲练 16 导数的应用（2）-研究函数的极值与最值 一、考点传真： 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)； 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求