专题17导数的应用（3）-导数在不等式中的应用-2021年高考数学（理）考点分析与突破性讲练之集合、函数与导数

2021年高考数学（理）集合、函数与导函数突破性讲练 17 导数的应用（3）-导数在不等式中的应用 一、考点传真： 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)； 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次) 3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 4.会利用导数解决某些简单的实际问题. 二、知识的梳理： 1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. [微点提醒] 1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 三、例题： 例1.（2020年全国2卷理数）已知函数. （1）讨论在区间的单调性； （2）证明：； （3）设，证明：. 例2.（2020年全国新高考1卷）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若，求的取值范围. 例3. （（2019天津高考）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A. B. C. D. 例4. （2019浙江高考）已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）对任意均有 求的取值范围. 例5. （2019北京高考）已知函数. （Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：. (III)设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值. 例6. (2018全国卷Ⅲ)已知函数． (1)若，证明：当时，；当时，； (2)若是的极大值点，求． 四、巩固练习： 1.函数f(x)＝ln x＋a的导数为f′(x)，若方程f′(x)＝f(x)的根x0小于1，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，＋∞) B.(0，1) C.(1，) D.(1，) 2.若对任意a，b满足0<a<b<t，都有bln a<aln b，则t的最大值为________. 3.函数f(x)＝x－2sin x，对任意的x1，x2∈[0，π]，恒有|f(x1)－f(x2)|≤M，则M的最小值为________. 4. 已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，求证：f(x)>0. 5.已知函数f(x)＝xln x－ax. (1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>－成立. 6. 已知函数f(x)＝ax＋＋c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1. (1)试用a表示出b，c； (2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围． 7.已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x(a∈R). (1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围； (2)函数g(x)＝(1－a)x，若∃x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围. 8.设函数f(x)＝ln x－x＋1. (1)讨论f(x)的单调性； (2