专题18导数的应用（4）-导数与函数的零点-2021年高考数学（理）考点分析与突破性讲练之集合、函数与导数

2021年高考数学（理）集合、函数与导函数突破性讲练 18 导数的应用（4）-导数与函数的零点 一、考点传真： 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)； 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次) 3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 4.会利用导数解决某些简单的实际问题. 二、知识的梳理： 1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. [微点提醒] 1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 三、例题： 例1.（2020年全国3卷理数）设函数，曲线在点处的切线与y轴垂直. （1）求b； （2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1. 例2.（2020年浙江卷）已知函数 ，其中 是自然对数的底数． （1）证明：函数在 上有唯一零点； （2）记为函数在上的零点，证明: （i） （ⅱ）. 例3. （2019全国卷Ⅰ理数）已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 例4. （2019全国卷Ⅱ理数）已知函数. （1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线. 例5. (2018浙江高考)已知函数． (1)若在，()处导数相等，证明：； (2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点． 四、巩固练习： 1.若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2.若函数只有个零点，则_______． 3.若函数f(x)＝＋1(a<0)没有零点，则实数a的取值范围为________. 4. 已知函数，证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点. 5. 已知函数，. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由. 6. 已知函数(). （1）当a >0时，求f (x)的单调区间； （2）讨论函数f (x)的零点个数. 7. 已知函数f(x)＝x2ln x. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)证明： 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使t＝f(s)． (3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t), 证明： 当t>e2时，有<<. 8. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，若且有两个零点，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 2021年高考数学（理）集合、函数与导函数突破性讲练 18 导数的应用（4）-导数与函数的零点 一、考点传真： 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)； 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上