专题19定积分与微积分基本定理-2021年高考数学（理）考点分析与突破性讲练之集合、函数与导数

2021年高考数学（理）集合、函数与导函数突破性讲练 19 定积分与微积分基本定理 一、考点传真： 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义； 2.了解微积分基本定理的含义. 二、知识的梳理： 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝ 在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式. (2)定积分的几何意义 f(x) f(x)dx的几何意义 f(x)≥0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 f(x)＜0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在[a，b]上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 2.定积分的性质 (1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数). (2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx. (3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b). 3.微积分基本定理 一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x)，即f(x)dx＝F(x))＝F(b)－F(a). 三、例题： 例1.（2011新课标）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 A． B．4 C． D．6 例2.（2010新课标）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组个）区间上的均匀随机数和，由此得到N个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 ． 例3.（2014山东）直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A． B． C．2 D．4 例4.（2013江西）若则的大小关系为 A． B． C． D． 例5.（2015福建）如图，点的坐标为，点的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ． 例6.（2013福建）当时，有如下表达式: 两边同时积分得： 从而得到如下等式： 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算： = ． 四、巩固练习： (2019·广德中学期中)(ex＋2x)dx等于(　　) A．1　　　　　　　　　 B．e C．e－1 D．e＋1 2. (2019·南阳期末)若f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，则f(x)dx＝(　　) A．16 B．54 C．－24 D．－18 3. (2019·河南师大附中月考)若sin2dx＝(　　) A．0 B.－ C.－ D.－1 4. 　(2019·银川一中月考)若－2dx＝，则m等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 5. (2019·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　) A．1＋25ln 5　　　　 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 6.汽车以v=(3t+2)m/s做变速运动时,在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.5 m B. m C.6 m D. m 7. 由曲线y＝x2和曲线y＝围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为(　　) A. B. C. D. 8. f(x)=且f(f(e))=10,则m的值为(　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 9.设f(x)＝则f(x)dx等于(　　) A. B. C. D.不存在 10.如图,函数f(x)=的图象与x轴围成一个山峰形状的图形,设该图形夹在两条直线x=t,x=t+2(-2≤t≤2)之间的部分的面积为S(t),则下列判断正确的是(　　) A.S(0)=4ln 2+2 B.S(-2)=