2.5 等腰三角形的轴对称性-2020-2021学年八年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

等腰三角形的轴对称性 知识点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角（等腰三角形的两个底角相等）. 特别地，当等腰三角形的顶角为90°或有一个底角为45°时，此时又称为等腰直角三角形. 例：一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ） A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120° 【解答】D 【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答． （1）顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°； （2）顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意； （3）顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D． 知识点二、等腰三角形的性质 1. 等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴； 2. 等腰三角形的性质一：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）； 3. 等腰三角形的性质二（三线合一）：等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合. 腰和底边不相等的等腰三角形只有一条对称轴，对称轴为顶角平分线（底边上的高或底边上的中线）所在的直线； “三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 知识点三、等腰三角形的判定 1. 定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2. 定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 例：如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF． 求证：AC＝BF. 【解答】见解析 【解析】证明：延长AD至点G，使得DG＝AD，连接BG，如图所示： ∵AD为中线，∴BD＝CD， 在△ACD与△GBD中，， ∴△ACD≌△GBD（SAS），∴BG＝AC，∠G＝∠CAD， ∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE， 又∵∠BFD＝∠AFE，∴∠G＝∠BFD，∴BF＝BG＝AC. 知识点四、等边三角形的性质与判定 1. 等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）； 2. 等边三角形的性质： （1）轴对称性：等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； （2）等边三角形的各角都等于60°. 3. 等边三角形的判定： （1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形； （2）定理法①：三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）定理法②：有一个角是60°（顶角/底角）的等腰三角形是等边三角形. 4. 等边三角形是特殊的等腰三角形，它可以具有等腰三角形的一切性质，但等腰三角形不一定是等边三角形. 例：如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】D 【解析】如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G ∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵EC＝CD， ∴∠CED＝∠CDE∠ACB＝30°， ∴∠AEF＝30°， ∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB， ∵△ABC是等边三角形，AE＝CE， ∴BE平分∠ABC， ∴EG＝EF＝2， 在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4， ∴DF＝EF+DE＝2+4＝6； 方法二、 ∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵EC＝CD， ∴∠CED＝∠CDE∠ACB＝30°， ∵△ABC是等边三角形，AE＝CE， ∴BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE， ∴BE＝DE，∠BFD＝90°， ∴BE＝2EF＝4＝DE， ∴DF＝DE+EF＝6； 故选D． 知识点五、与直角三角形有关的性质 1. 直角三角形斜边上的中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 2. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 例：如图，△ABC中，∠A+∠B＝90°，AD＝DB，CD＝3，则AB的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】D 【解析】∵△ABC中，∠A+∠B＝90°， ∴∠ACB＝90°． ∵AD＝DB， ∴CD是该直角三角形斜边AB上的中线， ∴AB＝2CD＝6． 故选D． 巩固练习 一．选择题 1． 等腰三角形的周长是20cm，一边是另一边的两倍，则底边长（　　） A．10cm或4cm B．10cm C．4cm D．无法确定 2． 在下