2.4 线段、角的轴对称性-2020-2021学年八年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

线段、角的轴对称性 知识点一、线段的轴对称性 1. 线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 例：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置. 【解答】见解析 【解析】作线段AC的垂直平分线交AB于M点，则点M即为所求，如图所示： 知识点二、线段垂直平分线的画法（尺规作图） 1. 分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C、D； 2. 过C、D两点作直线（直线CD就是线段AB的垂直平分线）. 知识点三、角的轴对称性 1. 角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴； 2. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3. 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 知识点四、角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 例：如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN. 【解答】见解析 【解析】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN. 巩固练习 一．选择题 1． 如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 2． 如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（　　） A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线 C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线 3． 如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 4． 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于点F，连结CF．若∠A＝50°，∠ACF＝40°，则∠CFD的度数为（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 5． 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，PQ垂直平分BC，与AC交于点P，下列结论正确的是（　　） A．PC＜2PA B．PC＞2PA C．AB＜2PA D．AB＞2PA 6． 如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 7． 如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（　　） A．64 B．48 C．32 D．42 8． 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点若满足PD＝PM，则OD的长度为（　　） A．3 B．5 C．5和7 D．3和7 9． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝5，AB＝12，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 二．填空题 11．如