12.3 角的平分线的性质-人教版八年级数学上册讲义（学生版+教师版）【机构专用】

12.3 角的平分线的性质 一、教学目标 （1）知识与技能目标：会作一个角的平分线，并掌握角平分线的性质及判定； （2）过程与方法目标：综合运用角的平分线的性质及判定解决相关问题； （3）情感态度与价值观：通过作三角形的角平分线，了解三角形三条角平分线交于一点的事实； 2、 教学重难点 （1） 教学重点：角平分线的性质及其应用 （2） 教学难点：灵活应用两个性质解决问题 知识点一：作已知角的平分线 用尺规作图法作已知角的平分线的步骤： （1） 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA，OB于M、N两点； （2） 分别以点M,N为圆心，以大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C； （3） 画射线OC. 则射线OC就是∠AOB的平分线. 提醒：①作已知角的平分线的方法很多，主要有折叠法和尺规作图法，尺规作图法是常用的方法. ②用尺规作图法作已知角的平分线是依据“SSS”定理构造一对全等的三角形. ③在上面的步骤（2）中，若以小于 MN的长为半径画弧时，两弧没有交点；以等于 MN的长为半径画弧时，两弧虽有交点，但交点不明显，不利于下一步的作图. 所以必须要求“以大于 MN的长为半径”. 例1.如图，已知∠AOB，求作一个角等于∠AOB的补角，并作出这个补角的平分线. 变式1.如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠A0B,作法的合理顺序是：①作射线0C；②以O为圆心，适当长为半径画弧交0A,OB于D,E；③分别以D,E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C. A.① ② ③ B.② ① ③ C.② ③ ① D.③ ② ① 变式2.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　） A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE 知识点二：角的平分线的性质 1. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 2. 书写格式：如图所示，∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 提醒:1.该性质可以直接作为证明两条线段相等的依据，不需要再通过证全等三角形来推导. 2.这一定理的条件是“点在角的平分线上”，结论是“这一点到角的两边的距离相等”. 3.利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”. 例1.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（ ） A.6 B.5 C.4 D.3 变式1.如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=16，BD=10，则点D到AB的距离是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 变式2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论： ①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE； 其中正确的是（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 知识点三：角的平分线的判定 1. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 2. 书写格式：如图所示，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE， ∴OP是∠AOB的平分线（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上） 提醒：1.这一定理的条件是“角的内部的点到角的两边的距离相等”，结论是“该点在角的平分线上”，它可以证明两个角相等. 2.判定角的平分线必须同时具备“距离”和“相等”这两个条件，缺一不可. 3.“角的平分线的判定”与“角的平分线的性质”的题设和结论正好相反. 例1.到三角形三边距离相等的点是（ ） A.三条中线的交点 B.三条高线的交点 C.三条角平分线的交点 D.不能确定 例2.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 变式1.如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A． 一处 B．二处 C．三处 D．四处 变式2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（　　） A．