11 三次函数面面观（数学部分）-2019年1-2月刊高三语数外《中学课程辅导·高考版》

学生习作 (2)由(1)知g(x)--3x3+2x,所以g(x) 2)由(1)知,[f(x)极大算一f 令g(x)0,解得 )<0,从而g(x)在区间 Lf(x)极小f(1)13-12-1+C--1+C (-∞,-√2和√2,+∞)上是减函数;当-√2<x 程f(x)=0有且只有两个不等的实数根 时,g(x)>0,从而g(x)在区间[一2,2]F是增价于[f(x)]概大=0或[(x)]小值 两数由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与 常数C=-2或C=1 最小值只能在x=1,2,2时取得,而g(1)= 点评:(1)当△46-12ac≤0时,由于不等式 g(②)=42,g(2)=4.因此g(x)在区间[1,2]的 f(x)≥0恒成立,函数是单调递增的,所以原方程仅 有一个实根.当△=1b2 >0时,由于方程 最人值为g(2)=42,最小值为g(2)=4 0有两个不同的实根x1,x2,不妨设x 在点(石,∫(x1))处取到函数的极大值,在点(x2 点评:函 f(x2)处取到极小值,且函数 m,n],若x∈[m;n-,且∫(x)=0,则:Jfm(x)=和(x,十∞)上单调過增,在[x,x]上单调逶减 此时: 即函数y-f(x)取极大 例3已知函数f(x)满足f(x)-x2+f(3)x2值所对应的点和取板小值所对应的点在x轴同侧,图 象均与x轴只有一个交点,所以原方程有且只有一个 x+C(其中/(3)为/(x)在点x=2处的导数,C实根 为常数) ②若∫( 0,即函数y=f(x)极大值 1)求两数f(x)的单调区 点与极小值点在父轴异侧,图象与x轴必有三个交 (2)若方程f(x)0有且只有两个不等的实数 所以原方程有三个不等实根 根,求常数 若f( )-0,即f(x1)与f(x2)中有 分析:三次方程根有且只有两个不等的实数根等且只有一个值为O,所以,原方程有两个不等实根 价于对应的三次函数的极大值等于0或极小值等 (2)三次方程根的个数问题的解题步骤 于 第 两个图象即“穿线图”(即解导数 等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后 解:(1)由f(x)=x2+f(2)2x2-x+C, 减再增”还是“先减后增再减”; 得f(x)-3x 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不 等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系 得∫ 2)2+2/(2)×第三步:解不等式(组)即可 例4已知函数f(x)-x3-x (2)-1,解之,得f(2)=-1, (1)求曲线y=f(x)在点M(t,∫(t)处的切线 方程 (2)设x>0,如果过点(a,6)可作山线y=f(x)的 从而f(x)=3x2-2x-1=3(x+0)(x-1) 三条切线,证明:-≤b≤~f(a) 列表如下 分析:切线的条数问题等价于以切点x为未知 数的方程的根的个数 解:(1)求函数f(x)的导数;f(x) 曲线y=f(x)在点M(tf(t)处的切线方程为 2) 有极大值 有极小值 y-f(t)=f(r)(a-t) 即 (x)的单调递增风问是(-,-3)和(1 (2)如果有一条切线过点(a,b),则有在t,使 );f(x)的单调递减区间是(-3,1) 于足,若过点(a,b)可作曲线y-f(x)的三条切 4}-43 学生习作 线,则方程 的“拐点”;定义:(2)设m为常数,若定义在R上的两 2r3-3at2+a+b=0 数y=f(x)对于定义域内的一切实数x,都有f(x+ 有三个相异的实数根 x)+/(x-x)=2/(x)恒成立,则函数y=f(x)的图 象关于点(x,f(x))对称 6 (1)已知f(x)=x3-3x2 2,求两数f(x) 当t变化时,g()g(→变化情况如下表: 的“拐点”A的坐标 2)检验(1)中的函数∫(x)的图象足否关于“拐 点”A对称 (3)对于任意的三次函数f(x)=ax3+bx3+cx 极大值 +d(a≠0)写出个有关“扮点”的结论(不必训明) a 5 b f(a 分析:三次函数的对称屮心即为函数的“拐 巾g(t)的单调性,当极大值a+b<0或极小值b 解:(1)依题意,得:f(x)-3x3-6x+2 f(a)>>0时,方程g()0最多有个实数根 当a+b=0时,解方程g()=0得t=0,t=,即 巾(x)=0,即6x-6=0.∴:x=1,又f(1)=2 方程g(t)-0只有两个相异的实数根 ∵.f(x)=x2-3x2+2x+2的“拐点”坐标是(1 当b-f(a)=0时,解方程g(t)=0得t= (2)由(1)知“拐点”坐标是(1,2).而 a,即方程g()0只有两个相异的实数根 f(1+x)+f(1-x)=(1+x)-3(1+x)2+2(1 综上,如果过(a6)可作面线y=f(x)三条切线,+x)+2+(1-x)3-3(1-x)